1 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

2 . 证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．

3 . 已知等差数列的前n项和为．
(1)求证：，，成等差数列；
(2)求证：，，成等差数列；
(3)试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．

4 . 已知等比数列的前项和为．
(1)求证：当公比时，，，成等比数列；
(2)求证：，，成等比数列；
(3)试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．

5 . 已知数列中，，，.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.

6 . 已知数列的首项，.
(1)求证：一定存在实数，使得数列是等比数列.
(2)是否存在互不相等的正整数使成等差数列，且使成等比数列？如果存在，请给以证明：如果不存在，请说明理由.

7 . 已知均为正实数．
(1)求证：．
(2)若，证明：．

8 . 已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

9 . （1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知，且，求证：.

10 . 已知数列的前n项和满足.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求证：.