名校
1 . 若数列满足,则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列,从该数列中任意去掉两项,同时添加作为该数列的末项,可以得到一个项数为项的新数列,称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列,即得到一个实数,则称该实数为数列的一个“坍缩数”.
(1)设数列的递推公式为,我们知道:当取不同的值时,可以得到不同的数列,若取某实数时,该数列是一个只有3项的有穷数列,求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明:对于任意一个边界为1的有穷数列,都可以对其持续进行“降维”,直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有项,其通项公式为,求证:当为偶数时,数列的“坍缩数”一定为正;当为奇数时,数列的“坍缩数”一定为负.
(1)设数列的递推公式为,我们知道:当取不同的值时,可以得到不同的数列,若取某实数时,该数列是一个只有3项的有穷数列,求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明:对于任意一个边界为1的有穷数列,都可以对其持续进行“降维”,直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有项,其通项公式为,求证:当为偶数时,数列的“坍缩数”一定为正;当为奇数时,数列的“坍缩数”一定为负.
您最近一年使用:0次
解题方法
2 . 如果数列的任意相邻三项,,满足,则称该数列为“凸数列”.
(1)已知是正项等比数列,是等差数列,且,,.记.
①求数列的前项和;
②判断数列是不是“凸数列”,并证明你的结论;
(2)设项正数数列是“凸数列”,求证:,,
(1)已知是正项等比数列,是等差数列,且,,.记.
①求数列的前项和;
②判断数列是不是“凸数列”,并证明你的结论;
(2)设项正数数列是“凸数列”,求证:,,
您最近一年使用:0次
解题方法
3 . 交比是射影几何中最基本的不变量,在欧式几何中亦有应用.设是直线上互异且非无穷远的四点,称(分式中各项均为有向线段,如)为的交比,记为.
(1)求证:;
(2)若为平面上过且互异的四条直线,为不过点且互异的两条直线,与的交点分别为,与的交点分别为,证明:.
(1)求证:;
(2)若为平面上过且互异的四条直线,为不过点且互异的两条直线,与的交点分别为,与的交点分别为,证明:.
您最近一年使用:0次
名校
解题方法
4 . 代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧,例如可以通过拆角转化为,这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用.已知在,角的对边分别为.(1)证明:;
(2)求角的大小;
(3)若点是边(不包含端点)上的一动点,过点向直线作垂线,垂足为,已知,求证:.
(2)求角的大小;
(3)若点是边(不包含端点)上的一动点,过点向直线作垂线,垂足为,已知,求证:.
您最近一年使用:0次
5 . 定义:表示的整数部分,表示的小数部分,例如.数列满足其中.若存在,使得当时,恒成立,则称数为木来数.
(1)分别写出当时的值.
(2)证明:是木来数
(3)若为大于1的有理数.且.求证:为木来数
(1)分别写出当时的值.
(2)证明:是木来数
(3)若为大于1的有理数.且.求证:为木来数
您最近一年使用:0次
名校
解题方法
6 . 《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂:从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料一:利用整体思想解题,运用代数式的恒等变形,使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法,常用的途径有:(1)整体观察;(2)整体设元;(3)整体代入:(4)整体求和等.
例如,,求证:. 证明:原式.
波利亚在《怎样解题》中指出:“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后,再四处看看,他们总是成群生长”类似问题,我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二:基本不等式(,),当且仅当时等号成立,它是解决最值问题的有力工具.例如:在的条件下,当为何值时,有最小值,最小值是多少?
解:,,,即,,当且仅当,即时,有最小值,最小值为2.请根据以上阅读材料解答下列问题:
(1)已知,求的值.
(2)若,解关于的方程.
(3)若正数,满足,求的最小值.
阅读材料一:利用整体思想解题,运用代数式的恒等变形,使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法,常用的途径有:(1)整体观察;(2)整体设元;(3)整体代入:(4)整体求和等.
例如,,求证:. 证明:原式.
波利亚在《怎样解题》中指出:“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后,再四处看看,他们总是成群生长”类似问题,我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二:基本不等式(,),当且仅当时等号成立,它是解决最值问题的有力工具.例如:在的条件下,当为何值时,有最小值,最小值是多少?
解:,,,即,,当且仅当,即时,有最小值,最小值为2.请根据以上阅读材料解答下列问题:
(1)已知,求的值.
(2)若,解关于的方程.
(3)若正数,满足,求的最小值.
您最近一年使用:0次
名校
解题方法
7 . (1)若,,求证:.
(2)若,,,证明:.
(2)若,,,证明:.
您最近一年使用:0次
8 . 已知数列满足.记.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求数列的前项和;
(3)若,数列的前项和为,求证:.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求数列的前项和;
(3)若,数列的前项和为,求证:.
您最近一年使用:0次
解题方法
9 . 如图,若内一点P满足,则称P为的布罗卡尔点.若设,则称为布罗卡尔角.(1)若是边长为2的等边三角形,其布罗卡尔点是的内心(内心是三角形三个内角角平分线的交点),求的外接圆的半径;
(2)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,记的面积为S,的布罗卡尔角为,且.证明:;
(3)在中,记的布罗卡尔角为,若,求证:.
(2)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,记的面积为S,的布罗卡尔角为,且.证明:;
(3)在中,记的布罗卡尔角为,若,求证:.
您最近一年使用:0次
10 . 类比于二维空间(即平面),向量可用二元有序数组表示,若维空间向量用元有序数组表示,记为,,且维空间向量满足.
(1)当,求.
(2)证明:;
(3)若是正实数,且满足,求证:.
(1)当,求.
(2)证明:;
(3)若是正实数,且满足,求证:.
您最近一年使用:0次