1 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

2 . 在“①函数的定义域为，②，使得成立，③方程在区间,内有解”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：已知条件p：______，条件：函数在区间上不单调，若是的必要条件，求实数的最大值．

3 . 已知直线经过椭圆()左顶点和上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线上存在一点，使得三角形为正三角形，求所在直线的方程.

4 . 设P为椭圆上一点，F₁、F₂是其焦点，若∠F₁PF₂＝，求△F₁PF₂的面积.

5 . 已知为椭圆的右顶点，点M在椭圆C的长轴上，过点M且不与x轴重合的直线交椭圆C于A，B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线的斜率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，求面积的最大值．

6 . 设是椭圆C：()的左、右焦点，离心率为；过点的直线交椭圆于两点，且的周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
（3）在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 已知a＋b≠0，证明a²＋b²－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.

8 . 某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克.
（1）求实数的值；
（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.

9 . 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，、为椭圆的左、右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值.

10 . 已知抛物线C₁：x²＝2py（p＞0），圆C₂：x²+y²﹣8y+12＝0的圆心M到抛物线C₁的准线的距离为，点P是抛物线C₁上一点，过点P，M的直线交抛物线C₁于另一点Q，且|PM|＝2|MQ|，过点P作圆C₂的两条切线，切点为A、B．

（Ⅰ）求抛物线C₁的方程；
（Ⅱ）求直线PQ的方程及的值．