1 . 像
等这样分子为1的分数在算术上称为“单位分数”,数学史上常称为“埃及分数”.1202年意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘术》中提到,任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和,如
.该结论直到1880年才被英国数学家薛尔维斯特严格证明,实际上,任何真分数分
总可表示成
①,这里
,即不超过
的最大整数,反复利用①式即可将
化为若干个“埃及分数”之和.请利用上面的方法将
表示成3个互不相等的“埃及分数”之和,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c76ceaee02808013d532804b9d7dc25a.png)
__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5fe5097eff1ef0d229c55ddb78c6e956.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/46054f4d39c9bf9909b15eb6ad68c311.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b627f3a534f7c1b586937f54c3c2ec02.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e20029d96d6bff7264b6fb75a75b1cef.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a00834d1303419adf37b9126de3c977.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c6ce02259a85ea191541f4a708738f1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2122e3f1e76a635e58e4d54aa594c552.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ed687b5e72317b508124642dd043d32.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c76ceaee02808013d532804b9d7dc25a.png)
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解题方法
2 . 我们用
表示某个关于
的代数式,现在有如下两个关于
的真命题:
①对任意的实数
、
,都有
;
②对任意的实数
、
,都有
成立;
其中
是大于
的常数.设实数
、
、
满足条件
且
.
(1)证明:
;
(2)证明:
;
(3)证明:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
①对任意的实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c814128ea2139e33db94ea590e7c2223.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aec19b68e3add9d5bfcc6269a1855b87.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ffb13c8f221c87d9e6eae949405d835d.png)
②对任意的实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c814128ea2139e33db94ea590e7c2223.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aec19b68e3add9d5bfcc6269a1855b87.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9c2f1ca03ade14de6711c85de8fc5df0.png)
其中
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/df64046e91b047037f19e4032e3b6de3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95b6be4554f03bf496092f1acdfbb89.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f35f7dcce39f3d4dc6b7faf84dc1d0a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a17884a2d114eee89f3def58398d2e48.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9ceb39aa5c2421cb43735afeed2f216c.png)
(1)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e8c6d2d0d52b0ff7e63d3cfe089786e4.png)
(2)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83e1f02fad18a316c0514520db1d774a.png)
(3)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2eea2a01f7c009f7bb2e82086a906640.png)
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3 . 将一条线段三等分后,以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Koch曲线“
”,将1级Koch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Koch曲线,同理可得3级Koch曲线(如图1),…,Koch曲线是几何中最简单的分形.若一个图形由N个与它的上一级图形相似,相似比为r的部分组成,称
为该图形分形维数,则Koch曲线的分形维数是________ (精确到0.01,
);在第24届北京冬奥会开幕式上,一朵朵六角雪花(如图2)飘拂在国家体育场上空,畅想着“一起向未来”的美好愿景.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成,再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线(如图3),…,依次得到n级Kn(
)角雪花曲线.若正三角形边长为1,则3级K3角雪花曲线的周长![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fbc7402de9b1fe91cc606f705426e34a.png)
________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/4/8/2953920933175296/2955173307244544/STEM/beb5b5339e334d2c8a7ed27a2f0fd1fd.png?resizew=54)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4911cf85b9873cd2568e3b30335a1d4a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b707ebd5381f693669458d99b6ddf7a2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36b98ef143f8159f3a7dafa1fd2f2370.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fbc7402de9b1fe91cc606f705426e34a.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/10/8/fe44c748-1d09-4bcf-b778-4834b3f222c9.png?resizew=549)
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4 . 设正整数
,其中
,记
,则( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cd8773d0bf134831c26414f32c9c216d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ef74dc873d2fee726c68c04cf6331c5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0926003e2a63567f420bccced17cdfd.png)
A.当![]() ![]() |
B.![]() |
C.当![]() ![]() |
D.![]() |
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5 . 素数又称质数,是指在大于
的自然数中,除了
和它本身以外不再有其他因数的自然数.早在
多年前,欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的.在这之后,数学家们不断地探索素数的规律与性质,并取得了显著成果.中国数学家陈景润证明了“
”,即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”,成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑,在国际数学界引起了轰动.如何筛选出素数、判断一个数是否为素数,是古老的、基本的,但至今仍受到人们重视的问题.最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出.
年,一名印度数学家发明了一种素数筛选法,他构造了一个数表
,具体构造的方法如下:
中位于第
行第
列的数记为
,首项为
且公差为
的等差数列的第
项恰好为
,其中
;
.请同学们阅读以上材料,回答下列问题.
(1)求
;
(2)证明:
;
(3)证明:
①若
在
中,则
不是素数;
②若
不在
中,则
是素数.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/00860a6a9f7275e3d61e519b63802dd4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc975755665e2675c150f52821609f7a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
,具体构造的方法如下:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c05b9832b09731a574d4a4adf7448de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7600d2cfbdc6146db96cc545706004f6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37a14c188b1c9d61aa237b137ba18023.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f2c9ee6c50000eef418c6103ecf721dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/637ba0eba55f2fe7a0d03555056abdd2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7600d2cfbdc6146db96cc545706004f6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37a14c188b1c9d61aa237b137ba18023.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/49c5fabeba3f3212955d9e282cd5482b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f8bbc1c45063bba6f24c99a3e30b9fd5.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/164ae1d08f223df4fa8df94bad8edd57.png)
(2)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/de075cbe45f637a11f53685a018e340a.png)
(3)证明:
①若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5873c01192b7d33b7483f444f90b5b0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bbac458da41f3d58829f20be4781d50d.png)
②若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5873c01192b7d33b7483f444f90b5b0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bbac458da41f3d58829f20be4781d50d.png)
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2022-04-01更新
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1687次组卷
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4卷引用:北京市门头沟区2022届高三一模数学试题
北京市门头沟区2022届高三一模数学试题北京市第一六一中学2022届高三考前热身训练数学试题(已下线)专题4 “素材创新”类型(已下线)第六篇 数论 专题1 数论中的特殊数 微点2 数论中的特殊数综合训练
6 . 如图所示,在某体育场上,写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台(
点为看台底部)由近及远沿直线依次竖直摆放,分别记五块标语牌为
,
,
,
,且
米,为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部,则
( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/3/28/2946076082823168/2947635906928640/STEM/6adc5828-6f1d-4f8e-b3ed-ca5fa3202acb.png?resizew=513)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/82482c50f0eb9786dcaf880fbd7c24f7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/28a2ac80f00802614863923e1acf580b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/daa5e9bd516f6282483b92cfe6074623.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4fe0bd76f9698304c0b65da43a68d1f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cfc5a03de2fb128fddffb13ad55132a7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c718b1f076086d68794881e95efef0c.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/3/28/2946076082823168/2947635906928640/STEM/6adc5828-6f1d-4f8e-b3ed-ca5fa3202acb.png?resizew=513)
A.4米 | B.8米 | C.16米 | D.24米 |
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7 . 设n是不小于3的正整数,集合
,对于集合Sn中任意两个元素
.定义
.若
,则称A,B互为相反元素,记作
或
.
(1)若n=3,A=(0,1,0),B=(1,1,0),试写出
,
,以及A·B的值;
(2)若
,证明:
;
(3)设k是小于n的正奇数,至少含有两个元素的集合
,且对于集合M中任意两个不同的元素
,都有
,试求集合M中元素个数的所有可能的取值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6b1df553c77cd4898d2357fe3cb100c0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/835c26186c32793dfcdfe62efe2fb701.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cfced31176260029e828aca4b4e6c5ae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/74b65bdb3f640c065a6b6603f15ec346.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/601614c932fe6d852fff76488eebcce5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ab1d8e0b76ed11ddddbc2c14554000b.png)
(1)若n=3,A=(0,1,0),B=(1,1,0),试写出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/21778974e8491fe2a158e70b459217be.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/555e0114c5a4605465900d7e165a299e.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35965a828e9c5dfe0b9590e8e445b919.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/253b595136f7db19c07501ad2b6c3d52.png)
(3)设k是小于n的正奇数,至少含有两个元素的集合
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ccb04581eec79f16945eed1ad128369.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa70167b6e11ba4b44cd8b64279c8876.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4ca479fb8f5491f14fcb5139f2249beb.png)
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21-22高二·江苏·课后作业
8 . 椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成.运用椭圆与圆之间的这种关系,你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗?
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2022-02-28更新
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103次组卷
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4卷引用:3.1.2 椭圆的几何性质
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9 . 《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂:从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料一:利用整体思想解题,运用代数式的恒等变形,使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法,常用的途径有:(1)整体观察;(2)整体设元;(3)整体代入;(4)整体求和等.
例如,
,求证:
.
证明:原式
.
波利亚在《怎样解题》中指出:“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后,再四处看看,他们总是成群生长”类似问题,我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二:基本不等式
,当且仅当
时等号成立,它是解决最值问题的有力工具.
例如:在
的条件下,当x为何值时,
有最小值,最小值是多少?
解:∵
,∴
,即
,∴
,
当且仅当
,即
时,
有最小值,最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题
(1)已知如
,求下列各式的值:
①
___________.
②
___________.
(2)若
,解方程
.
(3)若正数a、b满足
,求
的最小值.
阅读材料一:利用整体思想解题,运用代数式的恒等变形,使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法,常用的途径有:(1)整体观察;(2)整体设元;(3)整体代入;(4)整体求和等.
例如,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca27cc54ca0332245f5167488daa3408.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e2764ccd2cfe6de0c53dce98e45b120.png)
证明:原式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/87898da3367d13667477a10c9cc47ac2.png)
波利亚在《怎样解题》中指出:“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后,再四处看看,他们总是成群生长”类似问题,我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二:基本不等式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a28514741f365301978e922fdca0fcc1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f22fec5a381ae8aca93d876e54c79de.png)
例如:在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08115d6d9f876dea921a4d32260ff1fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13f40c24c64bbb0645fcf585f4e66872.png)
解:∵
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c42b50f6f9e56ea5f222b0a40cb4a3c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91bb4a7110c19cd10cb915e55438314b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d32ba3941cef6b1d549f050f0d314e1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63af71b9e6f71cd26e6e97541154cd8c.png)
当且仅当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b6a593ef3641dbd11e324dbe78b4dc8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b384412acba251d87902ab928902f16.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13f40c24c64bbb0645fcf585f4e66872.png)
请根据阅读材料解答下列问题
(1)已知如
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca27cc54ca0332245f5167488daa3408.png)
①
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f0dd92f322200ecabfb74ffd7cf3f4a.png)
②
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/af71e37295978173629004816b65791a.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56667aabbe787eb1c3189d487d203e22.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d9093a255130a938a4d84595c0c56ce.png)
(3)若正数a、b满足
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca27cc54ca0332245f5167488daa3408.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2ab1cbf887eca130c254f6e0cf3fdb2f.png)
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2021-10-29更新
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533次组卷
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3卷引用:江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一上学期月考数学试题(一)(已下线)第二章 等式与不等式(压轴题专练)-速记·巧练(沪教版2020必修第一册)
10 . 在水平桌面上放一只内壁光滑的且近似抛物面型的玻璃水杯,取一些长短不一的细直金属棒随意丢入该水杯中,抛物面型的轴截面是如图所示的抛物线,长短不一的细直金属棒会呈现图中的现象.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/9/24/2815052605112320/2815949198000128/STEM/082f83af-4c6b-4b60-bc8e-4747974b1f1e.png?resizew=225)
(1)猜想细金属棒交汇点性质;
(2)结合猜想,根据物理学原理,对上述现象作出假说;
(3)将假说数学化;
(4)证明假说;
(5)用一句话评价你的探索过程.
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(1)猜想细金属棒交汇点性质;
(2)结合猜想,根据物理学原理,对上述现象作出假说;
(3)将假说数学化;
(4)证明假说;
(5)用一句话评价你的探索过程.
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