1 . 在极坐标系中，，， ，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线1的参数方程为( t为参数，)，且点P的直角坐标为.
（1）求经过O，A，B三点的圆C的直角坐标方程；
（2）求证：直线l与（1）中的圆C有两个交点M，N，并证明为定值.

2 . 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数）．
(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；
(2)若点A，B为曲线C上的两个点，且OA⊥OB，求证：O到直线AB的距离为定值．

3 . 在直角坐标系中，是过且倾斜角为的一条直线，又以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)写出直线的参数方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线与曲线在轴的右侧有两个交点，过点作的平行线，交于两点，求证：．

4 . 在直角坐标系中，曲线C的的参数方程为，t为参数且．曲线C与x轴交与点A，与y轴交于点B．
(1)求证：．
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求以B为圆心，且过原点的圆B的极坐标方程．

5 . 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设点，直线l与曲线C交于点A，B．求证：．

6 . 已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的参数方程；
(2)若点P，Q分别在曲线，上，且，求证：．

7 . 以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且，Q在极轴上，C为的中点．以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系．

(1)求所在圆P的直角坐标方程与直线CQ的极坐标方程；
(2)过O引一条射线，分别交圆P，直线CQ于A，B两点，证明：为定值．

8 . 如图，已知抛物线及点，过点P的不重合的直线，与此抛物线分别交于点A，B，C，D．证明：A，B，C，D四点共圆的充要条件是直线与的倾斜角互补．
   

9 . 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．
(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；
(2)若点A，B为曲线C上的两个点且，求证：为定值．

10 . 在平面直角坐标系中，曲线C₁的方程为，曲线C₂的参数方程为（t为参数），直线l过原点O且与曲线C₁交于A、B两点，点P在曲线C₂上且OP⊥AB．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C₁的极坐标方程并证明为常数；
(2)若直线l平分曲线C₁，求△PAB的面积．