1 . 已知均为正实数.
(1)求证：，
(2)若一个直角的两条直角边分别为，斜边，求直角周长的取值范围.

2 . 已知函数.
(1)求的最小值，并指出此时的取值范围；
(2)证明：等价于.

3 . 已知代数式和．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，证明中至少有一个数不小于；
(3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件.

4 . （1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则.
（2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）

5 . 已知函数，且.
(1)若函数的最小值为，试证明点在定直线上；
(2)若，时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

6 . 对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值．
(1)已知，．
①直接写出和（用含的式子表示）；
②当，写出的最小值及此时的值；
(2)设，，求证：；
(3)在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）．

7 . 求证：
(1)
(2)

8 . 已知，且.
(1)求的最大值与最小值；
(2)证明：.

9 . 已知关于的不等式对任意实数恒成立．
(1)求实数的取值范围；
(2)记实数的最小值为，若均为正实数，且，求证：．

10 . 设函数．
(1)解不等式；
(2)令的最小值为，正数满足，证明：．