1 . 平面上有一个阶完全图，对其边进行三染色，且每种颜色至少染一条边.现假设在完全图中至多选出k条边，且把这k条边的颜色全部变为给定三色中的某种颜色后，此图同时也可以被该种颜色的边连通.若无论初始如何染色，都可以达到目的，求k的最小值.

2 . 设，欧拉函数表示在正整数1，2，3，…，中与互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以，则__________．

3 . 已知非空正实数有限集合A，定义集合，证明：．

4 . 班级里共有名学生，其中有，，．已知，，中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．
（1）求班级里朋友圈个数的最大值．
（2）求班级里朋友圈个数的最小值．

5 . 某班有10名同学计划在暑假举行若干次聚会，要求每名同学至多参加三次聚会，并且任意两名同学至少在一次聚会中相遇.求最大的正整数，使得无论如何安排符合上述要求的聚会，都一定存在某次聚会有至少名同学参加.

6 . 设数集，它的平均数.现将分成两个非空且不相交子集，，求的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对的数目.

7 . 综艺节目是一种综合多种艺术形式并带有娱乐性的电视节目，给观众带来很多欢乐，深受广大观众的喜爱．浙江电视台的记者就浙江卫视播出的《王牌对王牌》和《奔跑吧，兄弟》两档综艺节目，对浙江大学全体学生进行调查，有98%的学生喜欢看《王牌对王牌》或《奔跑吧，兄弟》，有70%的学生喜欢看《奔跑吧，兄弟》，有85%的学生喜欢看《王牌对王牌》，则浙江大学既喜欢看《王牌对王牌》，又喜欢看《奔跑吧，兄弟》学生占全校学生总数的比例是（       ）

A．43%

B．53%

C．57%

D．67%

8 . 设为正数，为的所有子集的任一个排列．求的最大值，其中．

9 . 设是连续个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在个数满足．

10 . 对两个不全等的矩形A、B，称，若A的长不小于B的长，且A的宽也不小于B的宽.现在若对任意的n个两两不全等的，长和宽均为不超过2020的正整数的矩形，都必存在其中3个矩形A、B、C，使得，求n的最小值.