1 . 将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作.若存在非零向量，及实数使得，则称为的一个特征值.
(1)若，求；
(2)如果，计算的特征值，并求相应的；
(3)若，要使有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值；②，并验证满足这两个条件.

2 . 设函数（a≠0）满足，，，求当时的最大值．

3 . 设f(m)是正整数m的各位数字的乘积，求方程的正整数解．

4 . 设关于 x 的一元二次方程 的两个根为 α、β（α < β）.
（1））若 x₁、x₂ 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证：；
（2）设，在区间[ α， β] 上的最大值和最小值分别为和， .求的最小值.

5 . 已知函数．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若，不等式恒成立，求的取值范围．