2023高三·全国·专题练习
1 . 已知数列
满足
.分别判断
和
时数列的单调性.
满足.分别判断和时数列的单调性.
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2 . 已知数列
满足
.
(1)证明：是正整数数列；
(2)是否存在
，使得
？并说明理由.
满足.(1)证明：
是正整数数列；(2)是否存在
，使得？并说明理由.
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3 . 设
是实数，证明：对任何满足
的实数，不等式
恒成立的充要条件是：
且
．
是实数，证明：对任何满足的实数，不等式恒成立的充要条件是：且．
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4 . 为了便于使用阿贝尔公式，我们考虑其一般形式的不等式：设
，
， 记
，则对于1，2，…，
的任一排列
有
．
，， 记，则对于1，2，…，的任一排列有．
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5 . 设
．求证：
．
．求证：．
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6 . 已知：是首项是
，公差是d的等差点数列，
是首项是
，公比是
的等比数列．求
的前n项和．
是首项是，公差是d的等差点数列，是首项是，公比是的等比数列．求的前n项和．
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7 . 求符合条件的序列
的个数，满足如下条件：
（1）
；
（2）
，有
.
的个数，满足如下条件：（1）
；（2）
，有.
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名校
8 . 如图，
是曲线
上的个点，点
在
轴的正半轴上，且△
是正三角形
是坐标原点）．
(1)求、
、
的值及数列的递推公式；
(2)猜想点
的横坐标
关于的表达式，并用数学归纳法证明．
是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，且△是正三角形是坐标原点）．(1)求
、、的值及数列的递推公式；(2)猜想点
的横坐标关于的表达式，并用数学归纳法证明．
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9 . 已知两个均含有项的有限数列
，
，其中对于
，
且
．定义数列
与
之间的距离：
．定义数列的“和序列”
，其满足对于，
，数列
的项和记为：
；定义数列的“和序列”
，其满足对于，
，数列
的项和记为：
．
(1)已知数列
，
，求
和
；
(2)当
且
时，求
的所有可能取值；
(3)当
且
时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；
(4)求证：对于
，当
且是4的倍数时，的最小值为0；
(5)当，
时，直接写出一对数列，，使得
．
项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．(1)已知数列
，，求和；(2)当
且时，求的所有可能取值；(3)当
且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；(4)求证：对于
，当且是4的倍数时，的最小值为0；(5)当
，时，直接写出一对数列，，使得．
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名校
10 . 已知数列
，
，…，
的各项均为整数，且对任意的
，2，…，
，都有
．将的所有项之和记为
．
(1)若
，
，求的最大值；
(2)若
，求证：
；
，，…，的各项均为整数，且对任意的，2，…，，都有．将的所有项之和记为．(1)若
，，求的最大值；(2)若
，求证：；
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