1 . 在由201320132013块单位正方体组成的大正方体中,若作直线使其穿过2013个单位正方体的中心,则这样的直线可以作______ 条.
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2 . 若随机投掷大小不同的三枚骰子，则其中有两枚或三枚骰子上显示的数字之和是7的概率为______ ．
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3 . 设红、黄、蓝三种颜色的小球各有10个.现将其全部放入甲、乙两个袋子中，要求每只袋子里三种颜色的小球都有，且甲、乙两只袋子中三种颜色的球数的平方和相等.共有______ 种放法.
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4 . 方程
满足
的正整数解
有______ 组.
满足的正整数解有
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5 . 一个五位数
满足
，且
，
（如37201，45412），若其数码随位数的变化规律类似正弦函数在一个周期上单调性的变化，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有__________ 个五位数符合正弦规律.
满足，且，（如37201，45412），若其数码随位数的变化规律类似正弦函数在一个周期上单调性的变化，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有
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6 . 设集合
，证明：对任意
，都存在
和正整数
使得
，其中，
表示不超过实数
的最大整数.
，证明：对任意，都存在和正整数使得，其中，表示不超过实数的最大整数.
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7 . 设函数
的值域为
.则满足条件的函数
的个数为______ .
的值域为.则满足条件的函数的个数为
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8 . 已知各项均为整数的无穷数列
满足：
、
、
，
，
，
，
，
，
证明：对任何大于1的正整数，存在无穷多个正整数
，使得
.
满足：、、，，，，，，证明：对任何大于1的正整数
，存在无穷多个正整数，使得.
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9 . 在
方格表中的每个方格内填入一个“
”号或“
”号.若一个有序整数组
具有以下性质：
（i）
；
（ii）
；
（iii）在上述
方格表中的第
列的每个方格中“”（或“”）号后添上
，使得第
行的数之和为
.则称为“优数组”，证明：至少存在四个不同的优数组.
方格表中的每个方格内填入一个“”号或“”号.若一个有序整数组具有以下性质：（i）
；（ii）
；（iii）在上述
方格表中的第列的每个方格中“”（或“”）号后添上，使得第行的数之和为.则称为“优数组”，证明：至少存在四个不同的优数组.
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10 . 给定大于1的正整数
，对任何正整数，若它的进制表示中没有数字零，则称其为“
充实的”．那么，
中充实的自然数的个数为____ .
，对任何正整数，若它的进制表示中没有数字零，则称其为“充实的”．那么，中充实的自然数的个数为
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