1 . 已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点.
(1)证明：
(2)若，，求的最大值.

2 . 如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.

(1)当时，求线段的值；
(2)若为正三角形，求四边形面积的最大值.

3 . 如图，某公园拟划出形如平行四边形的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以和为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与相切.

(1)若，，（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；
(2)若扇形的半径为10米，圆心角为，则多大时，平行四边形绿地占地面积最小？

4 . 落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.

(1)若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
(2)园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.