1 . 已知椭圆经过点，且短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且，求面积的取值范围.

2 . 已知椭圆：的离心率，是椭圆的左右焦点，过且垂直于长轴的弦长为.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，若以为直径的椭圆经过右焦点，求直线的方程.

3 . 已知椭圆，直线经过椭圆的右焦点和上顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设不过坐标原点的直线与椭圆交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，且，求直线的斜率．

4 . 已知点与点都在椭圆上，且的左集点为，过点的直线交椭圆于，两点.
（1）求的方程；
（2）若以为直径的圆经过点，求直线的方程.

5 . 已知椭圆C：（）的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆上运动，半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A、B两点，若直线、的斜率为、，当时，求此时“卫星圆”的个数.

6 . 已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过作直线交椭圆于，，求直线的方程.

7 . 已知椭圆的离心率，焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知椭圆与直线相交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求实数的取值范围．

8 . 如图，椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为，若，与轴垂直，且.
（1）求椭圆方程；
（2）过点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于两点，已知点，当时，求满足的直线的斜率的取值范围.

9 . 已知椭圆过点，其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为1的直线与椭圆交于异于的另外两点、，求的取值范围.