1 . 已知椭圆经过点，且短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且，求面积的取值范围.

2 . 已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于､两点，直线，的斜率分别是，，若，求面积的最大值.

3 . 如图，已知椭圆: ，直线:交椭圆于两点．过左焦点且斜率为（）的直线交椭圆于两点，线段的中点为．

（1）求椭圆的离心率及实轴长；
（2）若点在直线上，试求的关系式；
（3）在（2）的前提下，是否存在实数,使得的面积是面积的6倍？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

4 . 已知椭圆方程为．
（1）设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上运动，求的取值范围；
（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围．

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，且.直线 与椭圆C相交于两点.
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）当时，的面积为4，求直线的方程.

6 . 椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点重合，短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且坐标原点在以为直径的圆上，求直线的斜率.

7 . 已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为2的直线与椭圆交于、两点，求直线的方程；

8 . 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点为中点，与曲线的另一个交点为，设，试求出的值.

9 . 在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为，且经过点.

（1）求椭圆C的方程.
（2）直线与椭圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点.若椭圆上存在点N满足，求证：△PQN的面积S为定值.

10 . 已知直线x+y-1=0与椭圆C：b²x²+a²y²=a²b²(a>b>0)相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.
（1）求此椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4上，求此椭圆C的方程.