名校
解题方法
1 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意
，都有
或
，则称A为自邻集.记集合
的所有子集中的自邻集的个数为
.
(1)直接写出
的所有自邻集；
(2)若
为偶数且
，求证：
的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若
，求证：
.
，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出
的所有自邻集；(2)若
为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若
，求证：.
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2023-05-28更新
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699次组卷
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11卷引用：北京一零一中学2023届高三下学期数学统练四试题
北京一零一中学2023届高三下学期数学统练四试题北京卷专题02集合（解答题）北京市第一0一中学2022-2023学年高三下学期统练数学试卷（四）（已下线）高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-举一反三系列北京市北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题北京市东城区景山学校2024届高三上学期12月月考数学试题北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷北京市西城区2021届高三5月二模数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二上学期期中检测数学试题北京市第二十中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）
2 . 正整数集合
，且
，
，
中所有元素和为
，集合
.
(1)若
，请直接写出集合
；
(2)若集合中有且只有两个元素，求证“
为等差数列”的充分必要条件是“集合中有
个元素”；
(3)若
，求的最小值，以及当取最小值时，最小值.
，且，，中所有元素和为，集合.(1)若
，请直接写出集合；(2)若集合
中有且只有两个元素，求证“为等差数列”的充分必要条件是“集合中有个元素”；(3)若
，求的最小值，以及当取最小值时，最小值.
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3 . 对于有限个自然数组成的集合
，定义集合
，记集合
的元素个数为
.定义变换
，变换将集合变换为集合
.
(1)若
，求
；
(2)若集合
，证明：
的充要条件是
.
，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.(1)若
，求；(2)若集合
，证明：的充要条件是.
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4 . 设k是正整数，集合A至少有两个元素，且
.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有
，则称A具有性质
.
(1)试判断集合
和
是否具有性质
？并说明理由；
(2)若集合
，求证：A不可能具有性质
；
(3)若集合
，且同时具有性质
和
，求集合A中元素个数的最大值.
.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质.(1)试判断集合
和是否具有性质？并说明理由；(2)若集合
，求证：A不可能具有性质；(3)若集合
，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值.
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2023-05-10更新
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814次组卷
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3卷引用：北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
北京市清华大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】（人教A版2019必修第一册）北京市第三十五中学2023-2024学年高一上学期期中测试数学试题
5 . 若集合具有以下性质：①
，
；②若
，
，则
，且
时，
.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合
，有理数集
是不是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证:若，，则
；
(3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题
：若，，则必有
；
命题
：若，，且，则必有
.
具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合
，有理数集是不是“好集”，并说明理由；(2)设集合
是“好集”，求证:若，，则；(3)对任意的一个“好集”
，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题
：若，，则必有；命题
：若，，且，则必有.
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名校
解题方法
6 . 已知是非空数集，如果对任意
，都有
，则称是封闭集.
(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；
(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合
是封闭集，则
也是封闭集；
命题：若非空集合是封闭集，且
，则
也是封闭集；
(3)若非空集合是封闭集合，且
为全体实数集，求证：
不是封闭集.
是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.(1)判断集合
是否为封闭集，并说明理由；(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题
：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题
：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；(3)若非空集合
是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
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2023-01-06更新
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771次组卷
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7卷引用：北京市顺义区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题
北京市顺义区2022-2023学年高一上学期期末质量监测数学试题湖南省岳阳市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）1.3 集合的基本运算（精练）-《一隅三反》（已下线）专题02 高一上期中真题精选-期中考点大串讲（人教A版2019必修第一册）第一章 预备知识 测试卷-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（已下线）1.1集合的概念（分层作业）-【上好课】（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练
7 . 已知集合
．若集合A是U的含有
个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”．将U的所有“k元零子集”的个数记为
．
(1)写出U的所有“2元零子集”；
(2)求证：当
，且
时，
；
(3)求
的值．
．若集合A是U的含有个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”．将U的所有“k元零子集”的个数记为．(1)写出U的所有“2元零子集”；
(2)求证：当
，且时，；(3)求
的值．
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8 . 给定正整数
，设
为n维
向量
的集合.对于集合M中的任意元素
和
，定义它们的内积为
.
设
.且集合
，对于A中任意元素
，
，若
则称A具有性质
.
(1)当
时，判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)当
时，判断是否存在具有性质的集合A，若存在求出
，若不存在请证明；
(3)若集合A具有性质
，证明：
.
，设为n维向量的集合.对于集合M中的任意元素和，定义它们的内积为.设
.且集合，对于A中任意元素，，若则称A具有性质.(1)当
时，判断集合是否具有性质？说明理由；(2)当
时，判断是否存在具有性质的集合A，若存在求出，若不存在请证明；(3)若集合A具有性质
，证明：.
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名校
9 . 已知A为有限个实数构成的非空集合，设
，
，记集合
和
其元素个数分别为
，
.设
.例如当
时，
，
，
，所以
.
(1)若
，求
的值；
(2)设A是由3个正实数组成的集合且
，
；，证明：
为定值；
(3)若
是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意
，设
，
.已知
，
，且对任意，
，求数列的通项公式.
，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.(1)若
，求的值；(2)设A是由3个正实数组成的集合且
，；，证明：为定值；(3)若
是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式.
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2023-06-14更新
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752次组卷
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3卷引用：北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题
10 . 设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集
，
，…，
满足：
①，，…，均非空；
②，，…，中任意两个集合交集为空集；
③
．
则称，，…，为集合A的一个m阶分拆．
(1)若
，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）；
(2)若
，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求
的最大值；
(3)设，，
为正整数集合
（
，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素
构成
，其中
，且与中元素的和相等．求证：n为奇数．
，，…，满足：①
，，…，均非空；②
，，…，中任意两个集合交集为空集；③
．则称
，，…，为集合A的一个m阶分拆．(1)若
，写出集合A的所有2阶分拆（其中，与，为集合A的同一个2阶分拆）；(2)若
，，为A的2阶分拆，集合所有元素的平均值为P，集合所有元素的平均值为Q，求的最大值；(3)设
，，为正整数集合（，）的3阶分拆．若，，满足任取集合A中的一个元素构成，其中，且与中元素的和相等．求证：n为奇数．
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