1 . 已知是满足下列条件的集合：① ，；② 若，则；③ 若且，则.
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：“”是“”的充分条件；
（3）证明：若，则.

2 . 设，若其元素满足，则称集合为集合的“元封闭集”.
（1）写出实数集的一个“二元封闭集”；
（2）证明：正整数集上不存在“二元封闭集”；
（3）求出正整数集上的所有“三元封闭集”.

3 . 已知数集具有性质：对任意的
、，，与两数中至少有一个属于．
（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（2）证明：，且；
（3）当时，若，求集合．

4 . 设集合的元素均为实数，若对任意，存在，，使得且，则称元素个数最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依此类推……
（1）设，直接写出集合的“孪生集”；
（2）设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为2，证明：中所有元素之和为；
（3）若，请直接写出的“级孪生集”的个数，及所有“级孪生集”的并集的元素个数.

5 . 已知，为常数，且为正整数，为质数且大于2，无穷数列的各项均为正整数，其前n项和为，对任意正整数，数列中任意两不同项的和构成集合A.
（1）证明无穷数列为等比数列，并求的值；
（2）如果，求的值；
（3）当，设集合中元素的个数记为，求.

6 . 若集合，满足，则称为集合的一种分拆，并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆.
（1）集合的不同分拆种数为多少？
（2）集合的不同分拆种数为多少？
（3）由上述两题归纳一般的情形：集合的不同分拆种数为多少？（不必证明）

7 . 若存在满足下列三个条件的集合，，，则称偶数为“萌数”：
①集合，，为集合的个非空子集，，，两两之间的交集为空集，且；②集合中的所有数均为奇数，集合中的所有数均为偶数，所有的倍数都在集合中；③集合，，所有元素的和分别为，，，且．注：．
（1）判断：是否为“萌数”？若为“萌数”，写出符合条件的集合，，，若不是“萌数”，说明理由．
（2）证明：“”是“偶数为萌数”成立的必要条件．

8 . 已知是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则．
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：“”是“”的充分条件；
（3）证明：若，则．

9 . 给定整数()，设集合，记集合．
（1）若，求集合；
（2）若构成以为首项，()为公差的等差数列，求证：集合中的元素个数为；
（3）若构成以为首项，为公比的等比数列，求集合中元素的个数及所有元素之和．

10 . 设是由组成的行列的数表（每个数恰好出现一次），且．若存在，，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，则称数表为一个“数表”为数表的一个“值”，对任意给定的，所有“数表”构成的集合记作．
(1)判断下列数表是否是“数表”．若是，写出它的一个“值”；
，
(2)求证：若数表是“数表”，则的“值”是唯一的；
(3)在中随机选取一个数表，记的“值”为，求的数学期望．