1 . 对于三维向量，定义“变换”：，其中，．记，．

(1)若，求及；
(2)证明：对于任意，经过若干次变换后，必存在，使；
(3)已知，将再经过次变换后，最小，求的最小值．

2 . 一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论正确的是（       ）

A．

B．当时，

C．若，，则

D．平行六面体的体积

3 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定．
(1)分别根据下列已知条件求：
①，；②，；
(2)若向量，求证：；
(3)若A，B，C是以О为圆心的单位圆上不同的点，记，，．
（i）当时，求的最大值；
（ii）写出的最大值．（只需写出结果）

4 . 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
(1)对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；②，，；③，，，．
(2)已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：
①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则．

5 . 如图，斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为120°，定义向量在斜坐标系中的坐标为有序数对，在斜坐标系中完成下列问题：

（1）若向量的坐标为（2，3），计算的大小；
（2）若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①：若，则；命题②：若，则.