1 . 已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为.
（1）若，，，求的值；
（2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；
（3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明.

2 . 定义向量运算结果是一个向量，它的模是，其中表示向量的夹角，已知向量，，且，则（       ）

A．1

B．－1

C．

D．

3 . 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系，在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，记，则下列结论中正确的是（       ）

A．设，，若，则，

B．设，则

C．设，，若，则

D．设，，若与的夹角为，则

4 . 设向量，，当，且时，则记作；当，且时，则记作，有下面四个结论：
①若，，则；
②若且，则；
③若，则对于任意向量，都有；
④若，则对于任意向量，都有；
其中所有正确结论的序号为（       ）

A．①②③

B．②③④

C．①③

D．①④

5 . 设平面中所有向量组成集合，为中的一个单位向量，定义.则下列结论中正确的有___________（只需填写序号）.
①若､，则；
②若，，则；
③若，，，则有唯一解.

6 . 若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有（       ）

A．4个

B．6个

C．8个

D．12个

7 . 对任意两个非零向量，，定义新运算：已知非零向量，满足，且向量，的夹角，若和都是整数，则的值可能是（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 平面内任意给定一点和两个不共线的向量，，由平面向量基本定理，平面内任何一个向量都可以唯一表示成，的线性组合，，则把有序数组称为在仿射坐标系下的坐标，记为，在仿射坐标系 下，，为非零向量，且，，则下列结论中（       ）
① ②若，则
③若，则     ④
一定成立的结论个数是（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

9 . 平面内一组基底及任一向量，若点在直线上或在平行于的直线上，我们把直线以及与直线平行的直线称为“等和线”，此时为定值，请证明该结论.

10 . 已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，……，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．
(1)设，直接写出的所有可能结果；
(2)求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；
(3)设，求的聚数的所有可能结果．