解题方法
1 . 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成
，
，
，
，
，
六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数．
，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数．
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2022-10-25更新
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1209次组卷
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7卷引用：黑龙江省肇东市第四中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题
黑龙江省肇东市第四中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题13.4统计图表（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）（已下线）第六章 统计（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（北师大版2019必修第一册）（已下线）第39讲 频率分布直方图、总体取值规律、总体百分位数的估计5种常考题型）江西省宜春市丰城第九中学日新部2022-2023学年高一上学期期末数学试题（已下线）复习专题10用样本数据估计总体（1）-期末专项复习（已下线）第13章 统计（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）
真题
名校
2 . a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________ .（填写所有正确结论的编号）
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是
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2017-08-07更新
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11178次组卷
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42卷引用：【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一6月月考数学（理）试题
【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一6月月考数学（理）试题2018届高考数学高考复习指导大二轮专题复习：专题五 立体几何 测试题52017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）（已下线）《考前20天终极攻略》5月26日 立体几何与空间向量【理科】（已下线）《高频考点解密》—解密16 空间向量与立体几何（已下线）实战演练7.2-2018年高考艺考步步高系列数学【校级联考】吉林省五地六校2018-2019学年高三（上）期末数学试题【校级联考】福建省平和一中、南靖一中等五校2018-2019学年高一年下学期期中联考数学试题智能测评与辅导[理]-空间中的点、直线、平面的位置关系和球上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）【文】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）【文】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）5.1 空间几何体的结构 三视图与表面积与体积［理］-《备战2020年高考精选考点专项突破题集》（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）狂刷34 空间点、线、面的位置关系-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学（理）（已下线）专题04 立体几何-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1-1.2 综合拔高练（已下线）【新东方】杭州新东方高中数学试卷324（已下线）【新东方】杭州新东方高中数学试卷358（已下线）专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）【新东方】高中数学20210304-001（已下线）重组卷03-冲刺2021年高考数学之精选真题+模拟重组卷（新高考地区专用）（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算 第一篇 热点、难点突破篇（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）（已下线）考点46 平面的性质与点线面的位置关系-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）专题11 立体几何-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题36 空间向量在立体几何中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（已下线）重难点03 空间向量与立体几何-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）（已下线）专题16 立体几何中范围和最值问题（已下线）狂刷37 空间角与距离-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学（理）北京市育英学校2022-2023学年高二下学期期中练习数学试题（已下线）第五篇 向量与几何 专题18 空间点线面问题 微点1 空间点线面问题（已下线）专题02 结论探索型【讲】【北京版】2（已下线）专题02 结论探索型【讲】【通用版】（已下线）第五章 破解立体几何开放探究问题 专题二 立体几何开放题的解法 微点1 立体几何开放题的解法（一）【培优版】（已下线）6.2 空间点、直线、平面的位置关系（高考真题素材之十年高考）（已下线）【一题多变】空间最值 向量求解专题20立体几何与空间向量选择填空题(第三部分)
3 . α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，m
α，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________ .(填写所有正确命题的编号）
（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
（3）如果α∥β，m
α，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有
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2016-12-04更新
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7548次组卷
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61卷引用：黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学（文）试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学（文）试题黑龙江省哈尔滨市第四中学校2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）2016-2017学年河北枣强中学高二上月考三数学（文）试卷2016-2017学年江苏徐州睢宁县古邳中学高二上第一次月考数学试卷湖南省岳阳县一中2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高二10月月考数学试题北京海淀北方交大附2016-2017学年高二上学期期中考试数学（理）试题浙江省嘉兴一中2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题陕西省西安市长安区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（重点、平行班）试题人教A版高中数学必修二第二章 章末检测卷广西南宁市第三中学2017-2018学年高一上学期第三次月考数学试题（已下线）《考前20天终极攻略》5月26日 立体几何与空间向量【理科】（已下线）《高频考点解密》—解密15 空间中的平行与垂直（已下线）2018年10月14日 《每日一题》一轮复习理数-每周一测江苏省徐州市睢宁县高级中学2018-2019学年高二上学期第一次调研考试数学试题新疆维吾尔自治区石河子市第二中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【全国百强校】贵州省南白中学（遵义县一中）2018-2019学年高二下学期第一次联考数学（文）试题【全国百强校】内蒙古集宁一中2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题人教A版 全能练习 必修2 第二章 第三节 2.3.2 平面与平面垂直的判定（已下线）2019年10月13日《每日一题》2020年高考理数一轮复习—— 每周一测（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及其性质（练）【文】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）5.1 空间几何体的结构 三视图与表面积与体积[文] -《备战2020年高考精选考点专项突破题集》（已下线）5.1 空间几何体的结构 三视图与表面积与体积［理］-《备战2020年高考精选考点专项突破题集》（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及其性质（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》广东省佛山一中、珠海一中、金山中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题人教A版(2019) 必修第二册 必杀技 第8章 素养检测2020届内蒙古包钢一中高三上学期期中数学（文）试题贵州省思南中学2019-2020学年高二5月摸底数学（文）试题（已下线）狂刷36 直线、平面垂直的判定与性质-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学（理）（已下线）狂刷35 直线、平面平行的判定与性质-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学（理）（已下线）专题04 立体几何-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）专题23 空间点线面的位置关系-十年（2011-2020）高考真题数学分项广西钦州市第一中学2021届高三8月月考数学（理）试题广西钦州市第一中学2021届高三9月月考数学（文）试题山西省阳泉市盂县第三中学2021届高三上学期第一次月考数学（文）试题（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质 （精练）-2021年高考数学(文)一轮复习讲练测（已下线）考点24 空间直线、平面的平行、垂直问题-2021年新高考数学一轮复习考点扫描（已下线）考点31 直线、平面平行的判定及其性质-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过（已下线）第八单元 立体几何 (A卷 基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷（已下线）第八单元 立体几何 (A卷 基础过关检测）-2021年高考数学（文）一轮复习单元滚动双测卷江西省南昌县莲塘第三中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题（已下线）考向32 空间点、线、面的位置关系（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（已下线）专题25直线、平面的垂直与性质-2022年高三毕业班数学常考点归纳与变式演练（文理通用）宁夏青铜峡市高级中学2021-2022学年高二11月测试数学（理）试题（已下线）专题36 立体几何之根本-空间平行与垂直问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破（已下线）易错点02 常用逻辑用语-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）（已下线）专题01 集合与常用逻辑用语小题大做-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲四川省南充市南部县第二中学2021-2022学年高二上学期11月月考数学试题（已下线）类型二 空间点、线、面的位置关系-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型+重难题型突破（新高考专用）贵州省黔西南州金成实验学校2021-2022学年高二上学期期末质量监测数学（理）试题四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（文科）试题（已下线）考向27 空间点、直线、平面之间的位置关系（重点）四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（理科）试题（已下线）2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷参考版）（已下线）2023年高考考前最后一课-数学-3陕西省西安市蓝田县城关中学2022-2023学年高二下学期6月第二次月考理科数学试题（已下线）6.2 空间点、直线、平面的位置关系（高考真题素材之十年高考）（已下线）专题15 立体几何多选、填空题（理科）四川省遂宁市射洪中学校2024届高三高考考前热身数学（文）试题专题19立体几何与空间向量选择填空题(第二部分)
4 . 南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等.其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题.如图所示，正方体
，棱长为
.
的体积；
(2)在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体
的一条交线（不要求说明理由）；
(3)四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”.点
在棱
上，设
.过点作一个与正方体底面
平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；
(4)如果令
，求出八分之一“牟合方盖”的体积.
，棱长为.
的体积；(2)在图中画出四分之一圆柱体
与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）；(3)四分之一圆柱体
与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”.点在棱上，设.过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；(4)如果令
，求出八分之一“牟合方盖”的体积.
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2023-04-21更新
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966次组卷
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8卷引用：黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高一下学期第三次质量检测数学试题
黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高一下学期第三次质量检测数学试题山西省阳泉市第十一中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）重难点专题02 空间点直线平面之间的位置关系-【同步题型讲义】山西省晋中市2022-2023学年高一下学期期中数学试题山西省长治市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点2 祖暅原理及球体积辅助体综合训练【培优版】（已下线）模块四 专题2 高考新题型专练（新定义专练）（人教A）
解题方法
5 . 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(
吨)与相应的生产能耗
(吨)标准煤的几组对照数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
)
(参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5 32+42+52+62=86)
吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据： | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
)(参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5 32+42+52+62=86)
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2020-08-18更新
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137次组卷
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2卷引用：黑龙江省伊春市伊美区第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（文）试题
6 . 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A． | B． | C． | D． |
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2017-08-07更新
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14379次组卷
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41卷引用：【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一6月月考数学（理）试题
【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一6月月考数学（理）试题2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）贵州省铜仁一中2016-2017学年高二下学期期末数学（文）试题贵州省铜仁一中2016-2017学年高二下学期期末数学（理）试题浙江省嘉兴市第一中学2017-2018学年高二10月月考数学试题浙江省嘉兴一中2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题甘肃省兰州市第一中学2017-2018学年高一上学期12月月考数学试题甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高一12月月考数学试题22017-2018浙教版高中数学高三二轮复习专题04空间几何体中的计算与位置关系测试（已下线）《考前20天终极攻略》5月25日 空间几何体【理科】（已下线）《考前20天终极攻略》5月26日 空间几何体（三视图、表面积、体积）【文科】甘肃省定西市岷县二中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题（已下线）实战演练7.1-2018年高考艺考步步高系列数学（已下线）7-2 空间几何体的表面积和体积（高效训练）-2019版导学教程一轮复习数学（人教版）【全国百强校】广东省广州市实验中学、执信中学2018届高三10月联考数学（理）试题【市级联考】辽宁省丹东市凤城市2018-2019学年高二（下）5月月考数学试题智能测评与辅导[文]-立体几何的综合问题智能测评与辅导[理]-空间几何体的三视图、表面积、体积（已下线）狂刷33 空间几何体的表面积和体积-学易试题君之小题狂刷2020年高考数学（理）（已下线）专题04 立体几何-五年（2016-2020）高考数学（文）真题分项（已下线）专题04 立体几何-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）专题22 空间几何体及其表面积与体积-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）考点23 几何体的表面积、体积-2021年新高考数学一轮复习考点扫描云南省会泽县茚旺高级中学2020-2021学年高二10月月考数学试题（已下线）理科数学-押第7题 三视图-备战2021年高考数学（理）临考题号押题（新课标Ⅲ卷）（已下线）文科数学-押第7题 三视图-备战2021年高考数学（文）临考题号押题（新课标Ⅲ卷）北师大版 必修2 过关斩将 第一章 立体几何初步 §5-§7综合拔高练（已下线）专题10 三视图-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题04 立体几何-五年（2017-2021）高考数学真题分项汇编（文科+理科）（已下线）易错点13 多面体的表面积和体积-备战2022年高考数学考试易错题（全国通用）（已下线）专题33文科数学高考真题重组模拟测试（一）-备战2022年高考数学冲刺横向强化精练精讲（已下线）专题18 立体几何选择题-2（已下线）考向25空间几何体的结构、三视图和直观图（重点）（已下线）考向26空间几何体的表面积与体积（重点）-2吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学（文）试题吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学（理）试题（已下线）专题14 立体几何选择题（理科）-1（已下线）专题13 立体几何选择题（文科）-2专题18立体几何与空间向量选择填空题(第一部分)专题19立体几何与空间向量选择填空题(第一部分)
