南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等.其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题.如图所示，正方体
，棱长为
.
的体积；
(2)在图中画出四分之一圆柱体与四分之一圆柱体
的一条交线（不要求说明理由）；
(3)四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”.点
在棱
上，设
.过点作一个与正方体底面
平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；
(4)如果令
，求出八分之一“牟合方盖”的体积.
，棱长为.
的体积；(2)在图中画出四分之一圆柱体
与四分之一圆柱体的一条交线（不要求说明理由）；(3)四分之一圆柱体
与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”.点在棱上，设.过点作一个与正方体底面平行的平面，求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积；(4)如果令
，求出八分之一“牟合方盖”的体积.
22-23高一下·山西阳泉·期中 查看更多[9]
山西省阳泉市第十一中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）重难点专题02 空间点直线平面之间的位置关系-【同步题型讲义】山西省晋中市2022-2023学年高一下学期期中数学试题山西省长治市2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点2 祖暅原理及球体积辅助体综合训练【培优版】（已下线）模块四 专题2 高考新题型专练（新定义专练）（人教A）黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高一下学期第三次质量检测数学试题山东省济南市济阳闻韶中学2023-2024年高一下学期期中考试数学试题
更新时间：2023/04/21 09:52:14
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解题方法
【推荐1】如图，已知长方体底面是边长为
的正方形，侧棱长为
，有一圆柱以平面
、平面
分别为上下底面，且其侧面与长方体除去平面、平面后剩余的四面均相切．点
为平面
截圆柱所得椭圆上的一动点．
（1）求平面截圆柱所得椭圆的面积；
（2）求
的最大值．
底面是边长为的正方形，侧棱长为，有一圆柱以平面、平面分别为上下底面，且其侧面与长方体除去平面、平面后剩余的四面均相切．点为平面截圆柱所得椭圆上的一动点．（1）求平面
截圆柱所得椭圆的面积；（2）求
的最大值．
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【推荐2】如图，四边形是圆柱
的轴截面，点为底面圆周上异于
，
的点.
（1）求证：
平面
；
（2）若圆柱的侧面积为
，体积为
，点
为线段
上靠近点
的三等分点，设
，是否存在角
使得直线
与平面
所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并求出；若不存在，说明理由.
是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点.（1）求证：
平面；（2）若圆柱的侧面积为
，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，设，是否存在角使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并求出；若不存在，说明理由.
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是圆柱的底面直径且
，
是圆柱的母线且
，点C是圆柱底面圆周
上靠近点A的三等分点，点E在线段
的体积；
的中点，求
的最小值．
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【推荐1】上海中心大厦是上海市的地标建筑，现为中国第一高楼.为有效减少建筑所受的风荷载，通常对建筑体型进行一定的扭转.上海中心大厦的主楼可近似看成将正三棱柱的一个底面扭转所得的几何体；将正三棱柱
的底面
在其所在平面内绕的中心逆时针旋转
得到
，再分别连接
、
、
、
、
、
所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为
米，底层面积（即
的面积）约为
平方米.
；
(2)试分别以正三棱柱和几何体
为模型估算大厦主楼的体积.
的底面在其所在平面内绕的中心逆时针旋转得到，再分别连接、、、、、所得的几何体.已知大厦的主楼高度约为米，底层面积（即的面积）约为平方米.
；(2)试分别以正三棱柱
和几何体为模型估算大厦主楼的体积.
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【推荐2】如图，在一个透明的正三棱柱形状的容器中，盛上一些水，固定这个容器的一边加以倾斜，不断更改倾斜程度，从中尽可能多地找出其中的数量与图形的各种关系，并思考其中的道理．
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，
，
平面
，
．
，并求
的取值范围；
，求二面角
所成角的大小.
【推荐1】如图，在四棱锥
中，底面ABCD是矩形，
平面ABCD，
，
，E是PD的中点.
(1)求证：平面
平面PAD；
(2)求三棱锥
的体积.
中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，E是PD的中点.(1)求证：平面
平面PAD；(2)求三棱锥
的体积.
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解题方法
【推荐2】如图，直四棱柱的底面为菱形，
，
，，
分别为
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)平面将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为
，较小的体积为
，求
的值．
的底面为菱形，，，，分别为，的中点．(1)证明：
平面；(2)平面
将该直四棱柱分成两部分，记这两部分中较大的体积为，较小的体积为，求的值．
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中，底面
，
，点
上，且
,
的中点.
平面
；
平面
的体积；
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【推荐1】如图，在四面体中作截面
，若
与
的延长线交于点，
与
的延长线交于点，
与
的延长线交于点
.
（1）求证:直线
平面；
（2）求证:点在直线
上.
中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点.（1）求证:直线
平面；（2）求证:点
在直线上.
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【推荐2】如图，在正方体
中，O是BD的中点，对角线
与过
，B，D的平面交于点P．求证；，P，O三点在同一直线上．
中，O是BD的中点，对角线与过，B，D的平面交于点P．求证；，P，O三点在同一直线上．
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【推荐3】如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，
底面ABCD，
∥底面ABCD，点F在底面ABCD内的投影为正方形ABCD的中心O.
(1)在图中作出平面FBC与平面EAB的交线（不必说出画法和理由）；
(2)设二面角
的大小为
，求AE的长.
底面ABCD，∥底面ABCD，点F在底面ABCD内的投影为正方形ABCD的中心O.(1)在图中作出平面FBC与平面EAB的交线（不必说出画法和理由）；
(2)设二面角
的大小为，求AE的长.
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