1 . 设,,正实数数列满足,且当时.求证: ⑴当时,; ⑵.
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2 . 如图,、是双曲线的两个焦点,一条直线与双曲线的右支相切,且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点,求证: (1); ⑵、、A、B四点在同一个圆上.
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2011高三·天津·竞赛
3 . 在四面体 中. 面 , 已知 是 上一点,满足 ,且
(1)证明: ;
(2)若点 到平面 的距离为 ,求 的值.
(1)证明: ;
(2)若点 到平面 的距离为 ,求 的值.
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4 . 已知有理数数列满足,其中,、,、,且.
证明:(1)位有理数;
(2)若、不是实数,则.
证明:(1)位有理数;
(2)若、不是实数,则.
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5 . 设,令,,证明:对任何正整数n,有.①
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6 . 如图,设的外心、内心分别为、,、、内的旁心分别为、、. 证明:
(1)为锐角三角形;
(2)若的外心为,则、、三点共线.
(1)为锐角三角形;
(2)若的外心为,则、、三点共线.
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7 . 设.证明:对任意的,有.
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2008高三·天津·竞赛
8 . 已知锐角的三边的中点分别为,在的延长线上分别取点.若,证明:的外心为的垂心.
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2005高三·天津·竞赛
9 . 已知椭圆,其长轴为,是椭圆上不同于点、的一个动点,直线、分别与同一条准线交于、两点.试证明:以线段为直径的圆必经过椭圆外的一个定点.
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