1 . 如图,圆内接四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，另一组对边AD、BC的延长线交于点Q，自P、Q分别作该圆的切线PE、QF其中，E、F是切点，联结PQ.求证：以线段PE、QF、PQ为边构成的三角形是直角三角形.
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2 . 已知
都是正数，对实数
和
总满足
.求证：
.
都是正数，对实数和总满足.求证：.
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3 . 已知数列
： 
,其中
是方程
的两个根，
求证： (1)对任意正整数
，都有
；
(2)数列中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
： ,其中是方程的两个根，求证： (1)对任意正整数
，都有；(2)数列
中的项都是正整数，且任意相邻两项都互质．
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4 . 如图，
是已知圆的一条弦，它将圆分成两部分，
分别是两段弧的中点，以点
为旋转中心，将弓形
顺时针转一个角度成弓形
，
的中点为
．求证：
．
是已知圆的一条弦，它将圆分成两部分，分别是两段弧的中点，以点为旋转中心，将弓形顺时针转一个角度成弓形，的中点为．求证：．
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5 . 设
个质数
构成公差为
的等差数列，且
.求证
（1）当是质数时，
；
（2）当
时，
.
个质数构成公差为的等差数列，且.求证（1）当
是质数时，；（2）当
时，.
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6 . 已知
．求证：关于
的二次方程
，
，
中至少有一个具有两个不等的实数根．
．求证：关于的二次方程，，中至少有一个具有两个不等的实数根．
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7 . 已知半径分别为 R 、r 的两个圆外切于点 P ， 点 P 到这两圆的一条外公切线的距离等于d .求证：
.
.
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8 . 北京市中学有
（
）名中学生为“北京奥运会”共提交了条不同的建议．已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数不超过
．
（）名中学生为“北京奥运会”共提交了条不同的建议．已知其中任两名学生提交的建议中至少有一条建议是相同的，也至少有一条建议是不同的．求证：提交建议的学生数不超过．
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9 . 已知
．求证：
．
．求证：．
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10 . 定义在区间
上的函数
满足
，且对任意的
都有
．
（1）证明：对任意的
，都有
．
（2）求
的值．
（3）计算
．
上的函数满足，且对任意的都有．（1）证明：对任意的
，都有．（2）求
的值．（3）计算
．
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