1 . 如图所示，BE、CF分别是锐角三角形△ABC的两条高，以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N，以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q四点共圆.

2 . 将正整数数列1，2，3，…中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列.证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{b_n}中的两个相邻项的和.

3 . 设椭圆C的两焦点为，两准线为，过椭圆上的一点P，作平行于的直线，分别交于，直线与交于点Q.证明：P、F₁、Q、F₂四点共圆

4 . 如图，的内心为，、、分别是边、、的中点，证明：直线平分的周长．

5 . 如图，的外心为O，E是AC的中点，直线OE交AB于点D，M、N分别是的外心、内心.若AB=2BC，证明：为直角三角形.

6 . 设为n个非负实数.证明：.

7 . 的三条边长分别为．证明：．

8 . 在非钝角中，证明：.

9 . 如图，在锐角中，已知是高线上的任意一点，与交于点，与交于点，与交于点，过的一直线与、、、分别交于点、、、.证明： .

10 . 对于任意给定的无理数、及实数，证明：圆周上至多只有两个有理点（纵、横坐标均为有理数的点）．