1 . 如图所示，BE、CF分别是锐角三角形△ABC的两条高，以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N，以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明：M、N、P、Q四点共圆.

2 . 将正整数数列1，2，3，…中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列，再将数列中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列.证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{b_n}中的两个相邻项的和.

3 . 设椭圆C的两焦点为，两准线为，过椭圆上的一点P，作平行于的直线，分别交于，直线与交于点Q.证明：P、F₁、Q、F₂四点共圆

4 . 如图，的内心为，、、分别是边、、的中点，证明：直线平分的周长．

5 . 已知是斜边上的高（），分别是的内心，的外接圆分别交于点，直线交于点．证明：分别是的内心、旁心．

6 . 如图，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，且AE=AF，△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足，证明：.

7 . 如图，在中，分别是直角边上的任意点，自点向引垂线，垂足分别是．证明：四点共圆．

8 . 证明：对每个正整数，存在正整数，使得能将前个正整数所排成的数列1，2，…，顺次分成这样的段，其中每一段的各数之和均是平方数.

9 . 数列定义如下：，对于每个，、、构成公差为2的等差数列，而、、构成公比为的等比数列.证明：为有界数列，并求出其最小上界.

10 . 如图，为锐角的垂心，在线段上任取一点，延长到点，使，作⊥于点，⊥于点，为线段的中点，、分别为的外接圆圆心、的外接圆圆心，与的另一交点为.

证明：（1）、、、四点共圆；
（2）、、、四点共圆．