1 . 设．
（1）若，求证：是完全平方数；
（2）证明：存在无穷多个正整数对，使得．

2 . 已知动点P到直线l：的距离比到定点的距离多1.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A为（1）中曲线E上一点，过点A作直线l的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标.

3 . 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（）的值域为，求b的值；
（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

4 . 已知
（1）对一切恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：对一切，都有成立．

5 . 已知数列的前n项和，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若数列满足，为数列的前n项和，求证：.

6 . 如图，设点、，内切圆的圆心在直线上移动．

（1）求点的轨迹方程；
（2）若过点作两条射线，分别交（1）中所求轨迹于点、两点，且，求证：直线必过定点．

7 . 已知函数，数列、满足，，，，．
（1）求的取值范围，使得对任意的正整数，都有；
（2）若，，求证：．

8 . 如图，AB是半圆的直径，C是AB的中点，M是弦AC的中点，，垂足为H.求证：

9 . 如图，在直角坐标平面中，为正三角形，且满足
①求证：点在同一条抛物线上，并求出该抛物线的方程；
②过①中所求抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.

10 . 设求证：