1 . 设
，
，正实数数列
满足
，且当
时
.求证： ⑴当时，
； ⑵
.
，，正实数数列满足，且当时.求证： ⑴当时，； ⑵.
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2 . 如图，
、
是双曲线
的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证： （1）
； ⑵、、A、B四点在同一个圆上.
、是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证： （1）； ⑵、、A、B四点在同一个圆上.
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3 . 如图，设
的外心、内心分别为
、
，
、
、
内的旁心分别为
、
、
. 证明：
（1）
为锐角三角形；
（2）若的外心为
，则、、三点共线.
的外心、内心分别为、，、、内的旁心分别为、、. 证明：（1）
为锐角三角形；（2）若
的外心为，则、、三点共线.
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2008高三·天津·竞赛
4 . 已知锐角
的三边
的中点分别为
，在
的延长线上分别取点
．若
，证明：
的外心为的垂心．
的三边的中点分别为，在的延长线上分别取点．若，证明：的外心为的垂心．
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2011高三·天津·竞赛
5 . 在四面体
中．
面
，
已知
是
上一点，满足
，且
（1）证明：
；
（2）若点
到平面
的距离为
，求
的值.
中． 面 ， 已知 是 上一点，满足 ，且 （1）证明：
；（2）若点
到平面 的距离为 ，求 的值.
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6 . 已知有理数数列
满足
，其中，
、
，
、
，且
.
证明：（1）
位有理数；
（2）若、
不是实数，则
.
满足，其中，、，、，且. 证明：（1）
位有理数；（2）若
、不是实数，则.
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2005高三·天津·竞赛
7 . 已知椭圆
，其长轴为
，
是椭圆上不同于点、
的一个动点，直线
、
分别与同一条准线
交于
、
两点．试证明：以线段
为直径的圆必经过椭圆外的一个定点．
，其长轴为，是椭圆上不同于点、的一个动点，直线、分别与同一条准线交于、两点．试证明：以线段为直径的圆必经过椭圆外的一个定点．
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8 . 电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2.将输出的前
个数字之和被3整除的概率记为
.证明：
（1）
；
（2）
.
个数字之和被3整除的概率记为.证明：（1）
；（2）
.
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2012高三·天津·竞赛
9 . 已知双曲线的两个焦点坐标分别为
和
，双曲线的一条切线与
轴交于
，且斜率为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）若切线与双曲线的切点为，证明：
.
和，双曲线的一条切线与轴交于，且斜率为2.（1）求双曲线的方程；
（2）若切线与双曲线的切点为
，证明：.
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10 . 设a为实数,两条抛物线
与
有四个交点
(1)求a的取值范围;
(2)证明这四个交点共圆,并求该圆圆心的坐标.
与有四个交点(1)求a的取值范围;
(2)证明这四个交点共圆,并求该圆圆心的坐标.
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