2011高三·吉林·竞赛
1 . 点
满足平面区域
，点
满足
.则
的最小值为（ ）.
满足平面区域，点满足.则的最小值为（ ）.A． | B． | C． | D． |
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2 . 在正五棱柱
的侧棱
上有一点
，若截面
与侧面
互相垂直，则这样的点.
的侧棱上有一点，若截面与侧面互相垂直，则这样的点.| A．有且仅有一个 |
| B．有时有两个，有时有一个 |
| C．恰有两个 |
| D．有时不存在 |
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3 . 一个由空间中的点组成的集合
满足性质：中任意两点之间的距离互不相同．假设中的点的坐标
都是整数，并且
、
、
．证明：集合的元素个数小于
．
满足性质：中任意两点之间的距离互不相同．假设中的点的坐标都是整数，并且、、．证明：集合的元素个数小于．
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4 . 如图，在
中，
，有一个圆内切于的外接圆，且与
、
分别切于点、
．求证：线段
的中点
是的内心．
中，，有一个圆内切于的外接圆，且与、分别切于点、．求证：线段的中点是的内心．
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5 . 已知数列
中，
，且
．
（1）试求
的取值范围，使得
对任何正整数
都成立；
（2）若
，设
，并以
表示数列
的前项的和，证明：
．
中，，且．（1）试求
的取值范围，使得对任何正整数都成立；（2）若
，设，并以表示数列的前项的和，证明：．
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6 . 若定义在集合
上的函数
满足：对任意的
、
，都有
，则称函数是上的凹函数．
（1）试判断
是否是
上的凹函数？
（2）若
是上的凹函数，求实数
的取值范围．
上的函数满足：对任意的、，都有，则称函数是上的凹函数．（1）试判断
是否是上的凹函数？（2）若
是上的凹函数，求实数的取值范围．
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7 . 若
、
、
，求证：
．
、、，求证：．
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8 . 
的小数点后一位数字是______ ．
的小数点后一位数字是
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9 . 对空间中的六个点两两连线，用红、黄两种颜色对这些边染色，则同色三角形至少有______ 个．
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