1 . 有一个由n个城市组成的王国，其某些城市之间有道路相连，满足：（1）所有道路互不相交（若某两个城市间有道路相连，则称它们相邻）；（2）对任意两个城市都可以从一个城市出发沿道路走到另一个城市（中间可能通过其他城市）；（3）从任意一个城市出发，如果每一条道路至多利用一次的话，一旦离开则不可能回到出发的城市．国王进行如下改革：任命改革前的n位市长中的每一位改革后仍担任市长；任命改革前相邻城市的两位市长改革后仍在某两个相邻城市任市长．证明：存在一个城市改革前后由同一个人任市长，或者存在两个相邻城市改革前后互换市长．

2 . 设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．

3 . 对每个正整数n，定义为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若且，则是合数.

4 . 如图，在中，，且为边上的高，为边上的中线，为的平分线，与分别交于两点，与交于点，令．求证：，且是最好的界（即可以无限接近于）．

5 . 如图，锐角中，为边中点，内切圆与边切一点的内切圆与边切于点，若四边形为平行四边形，求证：在的平分线上.

6 . 设，记：，其中求和是对1，2，…，n的所有个k元组合进行的，求证：．

7 . 在平面内画出条直线，把平面分成若干个小区域，其中一些区域涂了颜色，且任何两个涂色区域没有公共边界（可以有公共顶点）.证明：涂色区域的个数不超过.

8 . 设、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：
（1）；
（2）数列恒为常数．

9 . 设为一个质数，且也是一个质数，证明：的小数表示形式中包含0至9的所有数码．

10 . 设为给定的正整数，实数及满足如下条件：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
证明：对一切，均有．