1 . 设n是正整数，我们说集合
的一个排列
具有性质P，是指在
当中至少有一个i，使得
.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.
的一个排列具有性质P，是指在当中至少有一个i，使得.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.
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2 . 设
为n个正整数，并且满足
，令
，并记
.求证：对于任意
，必存在正整数u、v，使得
，等于A或
.
为n个正整数，并且满足，令，并记.求证：对于任意，必存在正整数u、v，使得，等于A或.
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解题方法
3 . 求证：对任意的
，都有
．
，都有．
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4 . 在平面内画出
条直线，把平面分成若干个小区域，其中一些区域涂了颜色，且任何两个涂色区域没有公共边界（可以有公共顶点）.证明：涂色区域的个数不超过
.
条直线，把平面分成若干个小区域，其中一些区域涂了颜色，且任何两个涂色区域没有公共边界（可以有公共顶点）.证明：涂色区域的个数不超过.
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5 . 设
、
是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程
的两个复根恰为
、
（当两根相等时
）．若数列
恒为常数，证明：
（1）
；
（2）数列恒为常数．
、是无穷复数数列，满足对任意正整数n，关于x的方程的两个复根恰为、（当两根相等时）．若数列恒为常数，证明：（1）
；（2）数列
恒为常数．
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6 . 设
为一个质数，且
也是一个质数，证明：
的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
为一个质数，且也是一个质数，证明：的小数表示形式中包含0至9的所有数码．
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7 . 设
为给定的正整数，实数及
满足如下条件：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
证明：对一切
，均有
．
为给定的正整数，实数及满足如下条件：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．证明：对一切
，均有．
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8 . 如图，设O、H分别为
的外心与垂心，M、N分别为
、
的中点．
是的外接圆的一条直径，如果
是一个圆的内接四边形，证明：
．
的外心与垂心，M、N分别为、的中点．是的外接圆的一条直径，如果是一个圆的内接四边形，证明：．
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9 . 如图，锐角的外接圆为
，D是A在
上的射影，假设
，点M为
中点，
的角平分线与
交于点N，上一点P满足
．直线
与
交于点F，直线
与圆再交于点Q．直线与
的外接圆再交于点E．证明：
．
的外接圆为，D是A在上的射影，假设，点M为中点，的角平分线与交于点N，上一点P满足．直线与交于点F，直线与圆再交于点Q．直线与的外接圆再交于点E．证明：．
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是两个整数集合，且对于任意整数
，存在唯一的
使得
.记
.证明：对任意的
，存在
，使得
.
