1 . 如图，在钝角中，为钝角.设的外角平分线与过B和过C的高线分别交于点E，F，点M在线段EC上使得，点N在线段BF上，使得.证明：E，F，M，N四点共圆.

2 . 设函数.
(1)证明：存在唯一的函数，使得；
(2)求所有的非负实数使得；
(3)，
（i）证明：关于的方程与都有唯一实根；
（ii）记分别为方程，的实根，证明：.

3 . 如图，以为直径的圆上有C、D两点，、两点的中点为E、F，直线与直线、分别交于G、H，求证：以为直径的圆和以为直径的圆有一交点在上．

4 . 如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 求证：存在非零复数c与实数d，使得对于一切模长为1的复数均有

6 . 设n是正整数，是n的全部正因数.定义，已知是2的幂次，求证：n没有1之外的平方因数.

7 . 若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）

8 . 设n是正整数，我们说集合的一个排列具有性质P，是指在当中至少有一个i，使得.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.

9 . 设为n个正整数，并且满足，令，并记.求证：对于任意，必存在正整数u、v，使得，等于A或.

10 . 求证：对任意的，都有．