1 . 利用数学归纳法证明“
，
”时，从“
”变到“
”时，左边应增乘的因式是__________ .
，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是
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2 . 用数学归纳法证明
（
且
），第一步要证明的不等式是______ ，从到时，左端增加了________ 项.
（且），第一步要证明的不等式是到时，左端增加了
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3 . 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262~190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
且
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.现有
，
，求点
的轨迹方程为__________ .
且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.现有，，求点的轨迹方程为
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2023高三·全国·专题练习
4 . 阅读下面题目及其解答过程．
如图，在直三棱柱
中，
，
，
分别为
，
的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
．
解：（1）取
的中点
，连接
,
，如图所示．
在
中，，分别为，的中点，
，
．
由题意知，四边形
为_ ．
为的中点，
，
．
,
.
四边形
为平行四边形，
．又_ ，
平面
，
．
（2）
为直三棱柱，
平面
．
又
平面，
_ ．
，且
，
_ ．
又平面，
．
_ ，
．
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项（只需填写“A”或“B”）．
如图，在直三棱柱
中，，，分别为，的中点．（1）求证：
；（2）求证：
．解：（1）取
的中点，连接,，如图所示．在
中，，分别为，的中点，，．由题意知，四边形
为为的中点，，．,.四边形为平行四边形，．又平面，．（2）
为直三棱柱，平面．又
平面，，且，又
平面，．．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项（只需填写“A”或“B”）．
空格序号 | 选项 |
① | A．矩形 B．梯形 |
② | A． 平面 B． 平面 |
③ | A． B． |
④ | A． 平面 B． 平面 |
⑤ | A． B． |
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5 . 用数学归纳法证明命题：
，从“第
步到
步”时，两边应同时加上_________ ．
，从“第步到步”时，两边应同时加上
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6 . 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体
的棱长都是2（如图），
分别为棱
的中点，则
__________ .
的棱长都是2（如图），分别为棱的中点，则
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2023-06-21更新
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439次组卷
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6卷引用：第13讲 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷（提高卷）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）
（已下线）第13讲 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷（提高卷）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.1.2 空间向量的数量积运算(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第三章 空间向量与立体几何（基础巩固检测卷）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）（已下线）特训01 期末选填题汇编（第1-4章，精选60道）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（人教A版2019选择性必修第二册）安徽省蚌埠市2022-2023学年高二上学期期末数学试卷（已下线）通关练01 空间向量的运算及应用11考点精练（2）
7 . 已知
是两个不同的平面，
是平面外两条不同的直线，给出四个条件：①
；②
；③
；④
，以下四个推理与证明中，其中正确的是______ .（填写正确推理与证明的序号）
（1）已知②③④，则①成立
（2）已知①③④，则②成立
（3）已知①②④，则③成立
（4）已知①②③，则④成立
是两个不同的平面，是平面外两条不同的直线，给出四个条件：①；②；③；④，以下四个推理与证明中，其中正确的是（1）已知②③④，则①成立
（2）已知①③④，则②成立
（3）已知①②④，则③成立
（4）已知①②③，则④成立
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8 . 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点
为正八面体表面上的一个动点，则
的取值范围是__________ .
为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是
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23-24高一上·江苏·课后作业
9 . 基本概念
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数
表示，其中
.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
就是这个简谐运动的_____ ，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离﹔这个简谐运动的周期是
_____ ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式
______ 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
称为____ ；
时的相位
称为____ ．
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数
表示，其中.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：就是这个简谐运动的称为时的相位称为
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10 . 空间平行、垂直关系的向量表示
设 | |
| 线线平行 |    ，使得注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 |
| 线面平行 |    注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； |
| 面面平行 |   ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． |
| 线线垂直 |    |
| 线面垂直 |   ，使得 |
| 面面垂直 |    |
分别是直线
的方向向量，
分别是平面
的法向量．
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