1 . 2021年广东新高考将实行“”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考.其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后四科选择没有限定.
（1）小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；
（2）小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率.

2 . 如图，在平面四边形ABCD中，若，，，．

（1）求；
（2）若，求BC．

3 . 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)请问一元二次方程是倍根方程吗？如果是，请说明理由；
(2)若一元二次方程是倍根方程，且方程有一个根为，求、的值.

4 . 设是任意的一个实数，表示对进行四舍五入后的结果，其实质是取与最接近的整数，在距离相同时，取较大的而不取较小的整数，其函数关系常用＝表示.例如：，，，.
（1）判断函数＝（）的奇偶性，并说明理由；
（2）求方程的解集.

6 . 暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.
（1）写出旅行团每人需交费用（单位：元）与旅行团人数之间的函数关系式；
（2）旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？

7 . 辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：

上市时间x天	8	10	32
市场价y元	82	60	82

（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①；②；③.
（2）利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

8 . 已知向量，.
（1若，求实数的值：
（2）若，求实数的值.

9 . 已知椭圆的方程是，圆的方程是，直线与圆相切，与椭圆相交于不同的两点和，求的最大值.

10 . 在如图所示的等腰梯形中，，，以点和点为焦点，过点和点的椭圆的长轴长是，以点和点为焦点，过点和点的双曲线的实轴长是，试用两种方法证明: