1 . 一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
   
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

2 . 已知函数，（为常数且），且的图像经过点．
(1)求正实数的值；
(2)设，若函数的图像都在轴的上方，求实数的取值范围；
(3)设，画出函数的图像（坐标系中小方格的边长为1），并写出它的单调区间和值域（无需证明）．

3 . 和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三原方程.
（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点，法向量为的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在，，轴上的截距分别为，，的平面的截距式方程.（不需要说明理由）
（2）设、为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，求曲面的方程.
（3）对（2）中的曲面，指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图.

4 . 出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题： (1)求点、的“距离”；
(2)求线段上一点的距离到原点的“距离”；

(3)定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形,点求经过这三个点确定的一个“圆”的方程,并画出大致图象;(说明所给图形小正方形的单位是1)