名校
1 . 《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂:从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.
阅读材料一:利用整体思想解题,运用代数式的恒等变形,使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法,常用的途径有:(1)整体观察;(2)整体设元;(3)整体代入;(4)整体求和等.
例如,
,求证:
.
证明:原式
.
波利亚在《怎样解题》中指出:“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后,再四处看看,他们总是成群生长”类似问题,我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二:基本不等式
,当且仅当
时等号成立,它是解决最值问题的有力工具.
例如:在
的条件下,当x为何值时,
有最小值,最小值是多少?
解:∵
,∴
,即
,∴
,
当且仅当
,即
时,
有最小值,最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题
(1)已知如
,求下列各式的值:
①
___________.
②
___________.
(2)若
,解方程
.
(3)若正数a、b满足
,求
的最小值.
阅读材料一:利用整体思想解题,运用代数式的恒等变形,使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法,常用的途径有:(1)整体观察;(2)整体设元;(3)整体代入;(4)整体求和等.
例如,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca27cc54ca0332245f5167488daa3408.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e2764ccd2cfe6de0c53dce98e45b120.png)
证明:原式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/87898da3367d13667477a10c9cc47ac2.png)
波利亚在《怎样解题》中指出:“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后,再四处看看,他们总是成群生长”类似问题,我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二:基本不等式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a28514741f365301978e922fdca0fcc1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f22fec5a381ae8aca93d876e54c79de.png)
例如:在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08115d6d9f876dea921a4d32260ff1fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13f40c24c64bbb0645fcf585f4e66872.png)
解:∵
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1c42b50f6f9e56ea5f222b0a40cb4a3c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91bb4a7110c19cd10cb915e55438314b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d32ba3941cef6b1d549f050f0d314e1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63af71b9e6f71cd26e6e97541154cd8c.png)
当且仅当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b6a593ef3641dbd11e324dbe78b4dc8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b384412acba251d87902ab928902f16.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13f40c24c64bbb0645fcf585f4e66872.png)
请根据阅读材料解答下列问题
(1)已知如
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca27cc54ca0332245f5167488daa3408.png)
①
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f0dd92f322200ecabfb74ffd7cf3f4a.png)
②
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/af71e37295978173629004816b65791a.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56667aabbe787eb1c3189d487d203e22.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d9093a255130a938a4d84595c0c56ce.png)
(3)若正数a、b满足
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca27cc54ca0332245f5167488daa3408.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2ab1cbf887eca130c254f6e0cf3fdb2f.png)
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2021-10-29更新
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532次组卷
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3卷引用:江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题
江苏省南通中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题(已下线)第二章 等式与不等式(压轴题专练)-速记·巧练(沪教版2020必修第一册)江西省南昌市第二中学2023-2024学年高一上学期月考数学试题(一)
名校
2 . 给定数列
.对于任意的
,若
恒成立,则称数列
是互斥数列.
(1)若数列
,判断
是否是互斥数列,说明理由;
(2)若数列
与
都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列,若
与
不是互斥数列,求证:存在无穷多组正整教对
,使
成立;
(3)若
(
是正整数), 试确定
满足的条件,使
是互斥数列.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62e567d7e9761951a266953c8d5042ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/51a54da56300aa0ca6d860e7dab876e1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6122dceb035e49cc2fdb6ba76fc3ee94.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62e567d7e9761951a266953c8d5042ac.png)
(1)若数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d27db544d5acc32c822a085cee8da7d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62e567d7e9761951a266953c8d5042ac.png)
(2)若数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/034ba25825c13725931c483aa47c9363.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/034ba25825c13725931c483aa47c9363.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c227519f89ed6e99a065278ee1a689f1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b66feb4c28455ae16838fb0de06f849.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c9a9aec0708932cb71bd2999bd3e7062.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca31577dd76afbc1b720cdcad88ffd16.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca31577dd76afbc1b720cdcad88ffd16.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62e567d7e9761951a266953c8d5042ac.png)
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名校
解题方法
3 . 已知双曲线
的方程为
.
(1)直线
与双曲线的一支有两个不同的交点,求
的取值范围;
(2)过双曲线
上一点
的直线分别交两条渐近线于
两点,且
是线段
的中点,求证:
为常数.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a44342c2ee26a279265225982499b71.png)
(1)直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/19154d71383328a57153a293beb1faec.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
(2)过双曲线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8e3a1467ecf286e3cadaf5aa006606f2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/28b6ab702f8e93cc1e680a7d7af06786.png)
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2022-12-05更新
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384次组卷
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3卷引用:上海市行知中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题
上海市行知中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题湖北省襄阳市老河口市第一中学2022-2023学年高二上学期元月月考数学试题(已下线)广东省深圳市高级中学(集团)2023届高三上学期期末数学试题变式题17-22
名校
4 . 课上我们学习了“
”符号和数学上陈述句
一些常用的否定形式
,实际上“若
,则
”为假命题可以表述为“至少存在特例
满足性质
,使
”,即我们常说的举反例.
(1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假:
①任何集合都不是空集的子集;②若
,则
;
(2)其他教材中有这样一种新命题的表述: 如果把命题“若
,则
”称为原命题,那么将其结论的否定作为条件,将其条件的否定作为结论,可以得到一个新命题“若
,则
”,我们称新命题为原命题的逆否命题.并且有一个非常强有力的结论:原命题与它的逆否命题是同真或同假的.请综合利用上述知识证明:对于正实数
,若
,则
;
(3)证明:原命题“若
,则
”与它的逆否命题“若
,则
”同为真命题或同为假命题.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2ef73aff3fe470e367f4af24fdfff3df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b5858ee1ce52b251816757257a11c29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d1c79d9d4f43ffb42f22c287058b5f6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b5858ee1ce52b251816757257a11c29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2303430b989c36a0c5380d64b3182690.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f2c566d4285f887b69c855f31849542.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e31113e042661f75628af5e3b2dc56f1.png)
(1)请利用上述逻辑语言说明以下两个命题为假:
①任何集合都不是空集的子集;②若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/52ddfcb6c5c9f8b50444386d7221154c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9138d5904f6ff2a48f29e820ce54e0e0.png)
(2)其他教材中有这样一种新命题的表述: 如果把命题“若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b5858ee1ce52b251816757257a11c29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/130adfc0b77a1bb4046c19fc52d5fe78.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73d277dac920ea0456d486ea528332f0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/632244ea6931507f8656e1cc3437d392.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/127a0d8c1c7d15ed40ec4b8bca0ebdf6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/485a2d99320384a0857b00ce9ab9e990.png)
(3)证明:原命题“若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b5858ee1ce52b251816757257a11c29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d1c79d9d4f43ffb42f22c287058b5f6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73d277dac920ea0456d486ea528332f0.png)
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名校
解题方法
5 . 对于实数构成的集合
.若对任意
都有
(其中“
”表示普通的乘法运算),则称集合
对“
”是封闭的.
(1)已知集合
,判断
是否属于集合
;
(2)在(1)的条件下,若
,证明
的充要条件是
;
(3)若集合
对“
”都是封闭的,试判断
是否对“
”封闭,请说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cffa35373ec4e4684107b42adb7a5161.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c8af42f2ec410ad1b28be69d3415ed10.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9a9f1ff137e76626b7b608cef7c36349.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2468403b3eba9e40bfa36f464e927738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cffa35373ec4e4684107b42adb7a5161.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2468403b3eba9e40bfa36f464e927738.png)
(1)已知集合
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/50dae68b646f975a8a0c6bed67d028ff.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e57ed82958abb00776e75987aa62d723.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
(2)在(1)的条件下,若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9ecef225b27b5857d2d76fbe5b34982.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/caf22d7d1a965bda25168a233fb6290c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bff58fdfe14af9fb8aa0e0cf0d60853a.png)
(3)若集合
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f6bce3d91ca23b86d8c6625f2632e437.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2468403b3eba9e40bfa36f464e927738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81a3375139541ed61929fa658f16bb7d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2468403b3eba9e40bfa36f464e927738.png)
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解题方法
6 . 设
,
,
,
(1)求证:
,并指出等号成立的条件;
(2)比较
与
的大小关系,并说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a6e2e79843faf62dde86bf858d1e0569.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/67e62646209850c234a3cae2a1d65d4f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cad6da1c92d9cb2c0821727816aaad52.png)
(1)求证:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20ea712410365465510a0d20fa7f72d2.png)
(2)比较
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
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7 . 记集合
.
(1)若
,求证:
;
(2)设集合
且
,若
,
,求
的取值范围;
(3)若
,求证:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f8edb4a35ee8fc18d21348b26bbbefd2.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e96f3ea0467dc6393d7c4b602175a394.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/119c67d2cd0e136ac325abae7cadda16.png)
(2)设集合
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/39fb84c074fea379fbb972a6b1608fd2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e5738a64c9562be3585ecde74732dd2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9230efa8ff1efbcc68807463b2e3667f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65493f5dd32e0903c633210cc05b1825.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
(3)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a015906d7d42da6b86a454d056b72bf4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d759b1ec7f4fa266275c32eb1398c26.png)
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8 . 我们知道当
时,
对一切
恒成立,学生小贤在进一步研究指数幂运算时,发现有这么一个等式
,带着好奇,他进一步对
进行深入研究.
(1)当
时,求
的值
(2)当
时,求证:
是不存在的;
(3)求证:只有一对正整数对
使得等式成立.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15b1495c0bf168267adb8cde0bf2db22.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f7569cd7e9b31ad838230133b9bc8314.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/984a8337cb39ab508b57b2f55eeb2843.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f314b28b9020d17103045663e8e51122.png)
(1)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e94f16d5ed858699bfea5039a7bf8ae6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
(2)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a878fd5a7104a7f42770a19097d56457.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
(3)求证:只有一对正整数对
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2021-10-27更新
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271次组卷
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5卷引用:上海市奉贤区2020-2021学年高一上学期期中数学试题
上海市奉贤区2020-2021学年高一上学期期中数学试题第3章 幂、指数与对数(B卷·能力提升练)-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷(沪教版2020必修第一册)第6章 幂函数、指数函数、对数函数(章末测试提高卷)-2021-2022学年高一数学同步单元测试定心卷(苏教版2019必修第一册)(已下线)4.3.1 对数的概念(分层作业)(3种题型-【上好课】(已下线)4.3.1 对数的概念(导学案)-【上好课】
名校
解题方法
9 . 设A是集合P={1,2,3…
}的一个
元子集(即由
个元素组成的集合),且A的任何两个子集的元素之和不相等;而集合P的包含集合A的任意
+1元子集B,则存在B的两个子集,使这两个子集的元素之和相等.
(1)当n=6时,试写出一个三元子集A.
(2)当n=16时,求证:k≤5;
(3)在(2)的前提下,求集合A的元素之和S的最大值.
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(1)当n=6时,试写出一个三元子集A.
(2)当n=16时,求证:k≤5;
(3)在(2)的前提下,求集合A的元素之和S的最大值.
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2021-07-31更新
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715次组卷
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10卷引用:上海市宝山区行知中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题
上海市宝山区行知中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题第1章 集合与逻辑单元测试-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练(沪教版2020必修第一册)(已下线)1.1集合之间的关系(第3课时)(已下线)第1章 集合与逻辑(基础、典型、新文化、压轴)分类专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略(沪教版2020必修第一册)(已下线)第一章 集合与常用逻辑用语(选拔卷)-【单元测试】2021-2022学年高一数学尖子生选拔卷(人教A版2019必修第一册)(已下线)第一章 集合与常用逻辑用语单元检测(能力挑战卷)-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂(人教A版2019必修第一册)第1章 集合(章末测试提高卷)-2021-2022学年高一数学同步单元测试定心卷(苏教版2019必修第一册)(已下线)期中综合检测 (综合培优) B卷-2021-2022学年高一数学同步单元AB卷(人教A版2019必修第一册)(已下线)专题01 集合与常用逻辑用语常考基础题型-2021-2022学年高一《新题速递·数学》(人教A版2019)(已下线)高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-举一反三系列
解题方法
10 . 已知函数
,
(
为常数且
),且
的图像经过点
.
(1)求正实数
的值;
(2)设
,若函数
的图像都在
轴的上方,求实数
的取值范围;
(3)设
,画出函数
的图像(坐标系中小方格的边长为1),并写出它的单调区间和值域(无需证明).
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(1)求正实数
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(2)设
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(3)设
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