1 . 某班有10名同学计划在暑假举行若干次聚会,要求每名同学至多参加三次聚会,并且任意两名同学至少在一次聚会中相遇.求最大的正整数,使得无论如何安排符合上述要求的聚会,都一定存在某次聚会有至少名同学参加.
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2 . 已知素数,满足.证明:存在正整数使得的十进制表示的各位数字之和是2或3.
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3 . 求最大的实数,使得不等式对任意正整数以及任意实数均成立.
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4 . 给定素数.称1,2,…,的排列为“好排列”,如果对,2,…,均有,并且是的倍数.求“好排列”的个数除以的余数.
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5 . 如图,是的外接圆,是弧(不含)上一点,为弧的中点.为线段上一点,过作的平行线交于点,过作的平行线交于点,过作的平行线交弧于点.已知上的点满足被平分.证明:.
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6 . 给定正整数.记,,2,3,….证明:对任意素数,存在无穷多个非负整数对,满足,,…,这100个数都能被整除,并且都不能被整除.
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7 . 已知单位向量,,则的取值范围为______ .
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8 . 设数列,,2,…,7这里表示不超过的最大整数.若,则正整数有______ 种可能的取值情况.
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9 . 已知二次函数有两个不同的零点.若有四个不同的根,且,,,成等差数列,求的取值范围.
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10 . 设复数的实虚部,所形成的点在椭圆上.若为实数,则复数______ .
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