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1 . 定义1:对于一个数集,定义一种运算,对任意都有,则称集合关于运算是封闭的(例如:自然数集对于加法运算是封闭的).
定义2:对于一个数集,若存在一个元素,使得任意,满足,则称为集合中的零元,若存在一个元素,使得任意,满足,则称为集合中的单位元(例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元).
定义3:对于一个数集,如果满足下列关系:
①有零元和单位元;
②关于加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都是封闭的;
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律,且满足乘法对加法的分配律,则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集中,那些数集可以构成数域(不需要证明);
(2)已知集合,证明:集合关于乘法运算是封闭的;
(3)已知集合,证明:集合是一个数域.
定义2:对于一个数集,若存在一个元素,使得任意,满足,则称为集合中的零元,若存在一个元素,使得任意,满足,则称为集合中的单位元(例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元).
定义3:对于一个数集,如果满足下列关系:
①有零元和单位元;
②关于加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都是封闭的;
③对于乘法和加法都满足交换律和结合律,且满足乘法对加法的分配律,则称这个数集是一个数域.
(1)指出常用数集中,那些数集可以构成数域(不需要证明);
(2)已知集合,证明:集合关于乘法运算是封闭的;
(3)已知集合,证明:集合是一个数域.
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2 . 给出以下两个数学运算(符号)定义:
①若函数,则,其中称为函数的次迭代.如:.
②对于正整数,若被除得的余数为,则称同余于,记为.如:.
(1)若函数,求;
(2)设是一个给定的正整数,函数记集合.
①证明:当时,;
②求并猜想.
①若函数,则,其中称为函数的次迭代.如:.
②对于正整数,若被除得的余数为,则称同余于,记为.如:.
(1)若函数,求;
(2)设是一个给定的正整数,函数记集合.
①证明:当时,;
②求并猜想.
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3 . 设数阵,其中.设,其中,且.定义变换为“对于数阵的每一列,若其中有t或,则将这一列中所有数均保持不变;若其中没有t且没有,则这一列中每个数都乘以”(),表示“将经过变换得到,再将经过变换得到,…,以此类推,最后将经过变换得到.记数阵中四个数的和为.
(1)若,,写出经过变换后得到的数阵,并求的值;
(2)若,,求的所有可能取值的和;
(3)对任意确定的一个数阵,证明:的所有可能取值的和不大于.
(1)若,,写出经过变换后得到的数阵,并求的值;
(2)若,,求的所有可能取值的和;
(3)对任意确定的一个数阵,证明:的所有可能取值的和不大于.
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4 . 已知数列的各项均为正整数,记集合的元素个数为.
(1)若为1,2,3,6,写出集合,并求的值;
(2)若为1,3,a,b,且,求和集合;
(3)若是递增数列,且项数为,证明:“”的充要条件是“为等比数列”.
(1)若为1,2,3,6,写出集合,并求的值;
(2)若为1,3,a,b,且,求和集合;
(3)若是递增数列,且项数为,证明:“”的充要条件是“为等比数列”.
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5 . 已知S是全体复数集的一个非空子集,如果,总有,则称S是数环.设是数环,如果①内含有一个非零复数;②且,有,则称是数域.由定义知有理数集是数域.
(1)求元素个数最小的数环;
(2)证明:记,证明:是数域;
(3)若是数域,判断是否是数域,请说明理由.
(1)求元素个数最小的数环;
(2)证明:记,证明:是数域;
(3)若是数域,判断是否是数域,请说明理由.
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解题方法
6 . 设k是正整数,A是的非空子集(至少有两个元素),如果对于A中的任意两个元素x,y,都有,则称A具有性质.
(1)试判断集合和是否具有性质?并说明理由.
(2)若.证明:A不可能具有性质.
(3)若且A具有性质和.求A中元素个数的最大值.
(1)试判断集合和是否具有性质?并说明理由.
(2)若.证明:A不可能具有性质.
(3)若且A具有性质和.求A中元素个数的最大值.
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7 . 设正整数,,,这里. 若,且,则称具有性质.
(1)当时,若具有性质,且,,,令,写出的所有可能值;
(2)若具有性质:
①求证:;
②求的值.
(1)当时,若具有性质,且,,,令,写出的所有可能值;
(2)若具有性质:
①求证:;
②求的值.
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8 . 拓扑学是一个研究图形(或集合)整体结构和性质的一门几何学,以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来,富有直观和逻辑.已知平面,定义对,,其度量(距离)并称为一度量平面.设,,称平面区域为以为心,为半径的球形邻域.
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集;
(2)证明:中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集;
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集.证明:的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集.
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集;
(2)证明:中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集;
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集.证明:的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集.
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解题方法
9 . 给定正整数,设集合.对于集合中的任意元素和,记.设,且集合,对于中任意元素,若则称具有性质.
(1)判断集合是否具有性质?说明理由;
(2)判断是否存在具有性质的集合,并加以证明.
(1)判断集合是否具有性质?说明理由;
(2)判断是否存在具有性质的集合,并加以证明.
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2024-01-25更新
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305次组卷
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4卷引用:专题04 分类讨论型【讲】【北京版】2
(已下线)专题04 分类讨论型【讲】【北京版】2(已下线)专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式)练北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
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解题方法
10 . 设集合,其中.若集合满足对于任意的两个非空集合,都有集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等,则称集合具有性质.
(1)判断集合是否具有性质,并说明理由;
(2)若集合具有性质,求证:;
(3)若集合具有性质,求的最大值.
(1)判断集合是否具有性质,并说明理由;
(2)若集合具有性质,求证:;
(3)若集合具有性质,求的最大值.
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