1 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为．
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：．

2 . 设集合，其中.若集合满足对于任意的两个非空集合，都有集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合具有性质，求证：；
(3)若集合具有性质，求的最大值.

4 . 设是集合的一个元子集（即由个元素组成的集合），且的任何两个非空子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在的两个子集，使这两个子集的元素之和相等.
(1)当时，试写出一个三元子集；
(2)当时，证明：.

5 . 已知定义在上的函数．
(1)若，求方程的解；
(2)若，试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若，集合，且集合恰有16个子集，求的取值范围．

6 . 已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.
(1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有；
(3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.

8 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出的所有自邻集；
(2)若为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若，求证：.

9 . 设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.
(1)写出的所有子集､所有偶子集：
(2)写出的所有奇子集；
(3)求证：的奇子集与偶子集个数相等.

10 . 已知实数，满足.
(1)求证：中至少有一个实数不小于1；
(2)设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求的平均值.