1 . 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项，，的最小值记为，．
(1)若为，，，，，，，，，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值．
(2)设是正整数，证明：的充分必要条件为是公比为的等比数列．
(3)证明：若，，则的项只能是或者，且有无穷多项为．

2 . 已知两个关于的一元二次方程和，求两方程的根都是整数的充要条件．

3 . 已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．
（1）写出，的值；
（2）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；
（3）若，求当取最小值时的最大值．

4 . 已知
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得“”是“”的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

5 . 数列满足，
（1）证明：“对任意，”的充要条件是“”
（2）若，数列满足，设，，若对任意的，不等式的解集非空，求满足条件的实数的最小值．

6 . 若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.
（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；
（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.

7 . 已知集合P＝{x|x²－8x－20≤0}，S＝{x||x－1|≤m}．
(1)若(P∪S)⊆P，求实数m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

8 . 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后各项，…的最小值记为，.
(1)若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N^*，)，写出的值；
(2)设d为非负整数，证明：(n=1,2,3…)的充分必要条件为为公差为d的等差数列；
(3)证明：若，(n=1,2,3…)，则的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

9 . 设，，
，求使的充要条件．

10 . 设数列中的每一项都不为0．
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有
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