名校
1 . 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口,创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术,设计了如下实验:目标P在地面轨道上做匀速直线运动;在地面上相距
的A,B两点各放置一个传感器,分别实时记录A,B两点与物体P的距离.科技小组的同学根据传感器的数据,绘制了“距离-时间”函数图像,分别如曲线a,b所示.
和
分别是两个函数的极小值点.曲线a经过
和
,曲线b经过
.已知
,并且从
时刻到
时刻P的运动轨迹与线段AB相交.分析曲线数据可知,P的运动轨迹与直线AB所成夹角的正弦值以及P的速度大小分别为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fe35c9c09d1cb7c065df164ae5c62ea0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/87c7eb49a823f757461cd5260757b088.png)
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A.![]() | B.![]() |
C.![]() | D.![]() |
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|
324次组卷
|
3卷引用:北京市中国人民大学附属中学2024届高三下学期5月热身练习数学试题(三模)
2 . 在某一个十字路口,每次亮绿灯的时长为
(
为时间单位:秒),那么每次绿灯亮时,在同一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口?
该问题涉及车长、车距、车速,前方堵塞状况包括行人非机动车等因素.为了将问题简化,在路况车况驾驶状态等都良好的前提下,提出如下基本假设:
1.通过路口的车辆长度都相等;
2.等待通行时,前后相邻两辆车的车距都相等;
3.绿灯亮时,汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动,到达最高限速汽车开始匀速行驶;
4.离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟
时间开始动起来.前一辆车启动后,下一辆车启动的延迟时间相等,在延迟时间内,车辆保持静止;
5.按照交通安全法规行驶,行车秩序良好,没有碰擦或堵塞等现象发生.
1.车长设为
,取
,车距设为
,取
,第一辆车离停车线距离为
;
2.加速度记作
,取
,汽车在匀加速运动
时段行驶路程
;
3.前后车启动延迟时间记为
,取
;
4.第
辆车启动延迟时间为
;
5.该十字路口限速
,换算为
;
6.第
辆车到达最高限速的时间为
取
.
设第
辆车在绿灯持续
时间内驶离停车线的距离为
.根据上述假设与数据,
,依次类推.请你解决下列问题:
(1)求
;(结果保留一位小数,单位:
)
(2)对于第
辆车,写出函数
的分段表达式;
(3)求在亮绿灯的
内,这一条直行道路上同方向能有多少辆汽车通过该十字路口.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2f6fd3aa935cffb2a4526ed28f47e4ee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2065bdd4392601a18d1ef1fc1fdb13ce.png)
该问题涉及车长、车距、车速,前方堵塞状况包括行人非机动车等因素.为了将问题简化,在路况车况驾驶状态等都良好的前提下,提出如下基本假设:
1.通过路口的车辆长度都相等;
2.等待通行时,前后相邻两辆车的车距都相等;
3.绿灯亮时,汽车都是沿同方向从静止状态匀加速启动,到达最高限速汽车开始匀速行驶;
4.离路口信号灯最近的第一辆车在绿灯亮后延迟
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eb9206b8d3214e21a3115c6bc9886d03.png)
5.按照交通安全法规行驶,行车秩序良好,没有碰擦或堵塞等现象发生.
1.车长设为
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dd09cd596379a9b81dd6cd74e123fd13.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c02bc0c74292b1e8f395f90935d3174.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c97599b586b7decae67a55cd008b9091.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/651a6747032c07c0ac12257e6fe8b254.png)
2.加速度记作
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d90ff2ab2472b25fd95756e144f861d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65a54eb2123d9eafa3b923287abe8b5e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b2c53ba413678dc85ab3a6f0faf3c9e.png)
3.前后车启动延迟时间记为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eb9206b8d3214e21a3115c6bc9886d03.png)
4.第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c7ac4aec03431ef10172065c4a4fad20.png)
5.该十字路口限速
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d55f3eb3475ce28862370d286ebc4ee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e29784992adeb6014c71cbb551e0652.png)
6.第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63b0b9925db981df603f7e863189fe3b.png)
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设第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65a54eb2123d9eafa3b923287abe8b5e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26f48ae649161e580a4f96966f92abbc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b865e8598fcbb953b40dbb143576640d.png)
(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d3a3dc3e602639ccbf1a2e9c82a68e8e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e15e00f40396e914d1d9955bd7785f1f.png)
(2)对于第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26f48ae649161e580a4f96966f92abbc.png)
(3)求在亮绿灯的
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名校
3 . 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.位于滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮,该摩天轮轮盘直径为124米,设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
分钟后游客甲距离地面的高度为
米,已知
关于
的函数关系式满足
(其中
,
,
),求摩天轮转动一周的解析式
;
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,从游客甲坐上摩天轮后开始计时,多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73465a1f9aa03481295bf6bd3c6903ac.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/168c6946326138bd8cfc81c71c3034c1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13378be06b6b01bcad1d261ff14e87cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4456675a5dbe545462a22cef9aca8fe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/51d65b6b24f2b83a74a2a6f7afb1df89.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26e91406484c332ac8fc96a54c7e187b.png)
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度第一次恰好达到52米?
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,从游客甲坐上摩天轮后开始计时,多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同?
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名校
4 . 如图,某公园摩天轮的半径为40m,圆心距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转动,每3min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.
(其中
,
,
,求函数
解析式及2023min时点P距离地面的高度;
(2)当点P距离地面
及以上时,可以看到公园的全貌,求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌?
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a26a5f544ec4f124f42ce0061603a757.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13378be06b6b01bcad1d261ff14e87cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4456675a5dbe545462a22cef9aca8fe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2e27a2acfe64bfc8e49389874e457698.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acb17843c51402a1f7cd9b07542597b9.png)
(2)当点P距离地面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/851c58835ac188739ebcef2c1b6e7af1.png)
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解题方法
5 . 某军区红、蓝两方进行战斗演习,假设双方兵力(战斗单位数)随时间的变化遵循兰彻斯特模型:
,其中正实数
,
分别为红、蓝两方的初始兵力,
为战斗时间;
,
分别为红、蓝两方
时刻的兵力;正实数
,
分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数;
和
分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定:当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束,另一方获得战斗演习胜利,并记战斗持续时长为
.则下列结论不正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5714fcfedcb40b95f982ca26bb0a9a7c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fd680d9d3352bfe69d373054ab106a0d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/077e9883cc54992f7b96962895db9c26.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c2a22953b66e5f4a0337d22162a24b6b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37f1e0268e7e4ace8e70b4d38ad6d08d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e0639494fc8cc7a048c7621f972eae6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c6a59c8dc71935b342d42cb4a54eed27.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0b68df477b3ee45ac0f725db00d465a1.png)
A.若![]() ![]() ![]() |
B.若![]() ![]() ![]() |
C.若![]() |
D.若![]() |
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2024·山东·模拟预测
解题方法
6 . 如图①,将
个完全一样质量均匀长为
的长方体条状积木,一个叠一个,从桌子边缘往外延伸,最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢?这就是著名的“里拉斜塔问题”.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/3/23/bc879c7d-8f43-4e6c-b6d8-ddd10ad2a335.png?resizew=507)
解决方案如下:如图②,若
,则当积木与桌缘垂直且积木重心
恰与桌缘齐平时,其伸出桌外部分最长为
,如图③,若
,欲使整体伸出桌缘最远,在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时,可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平,然后设最下方积木伸出桌外的长度为
,将最下方积木看成一个杠杆,将桌缘看成支点,由杠杆平衡原理可知,若积木恰好不掉下桌面,则上面积木的重力
乘以力臂
,等于最下方积木的重力
乘以力臂
,得出方程
,求出
.所以当叠放两个积木时,伸出桌外最远为
,此时将两个积木看成整体,其重心
恰与桌缘齐平.如图④,使前两块积木的中心
与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平,便可求出
时积木伸出桌外的最远距离.依此方法,可求出4个、5个直至
个积木堆叠伸出桌外的最远距离.(参考数据:
,
为自然常数)
(1)分别求出
和
时,积木伸出桌外的最远距离.(用
表示);
(2)证明:当
时,积木伸出桌外最远超过
;
(3)证明:当
时,积木伸出桌外最远不超过
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c88d9142df6ba8e43c1a93bd04a1362.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/3/23/bc879c7d-8f43-4e6c-b6d8-ddd10ad2a335.png?resizew=507)
解决方案如下:如图②,若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c87b351f16728b0023fd63678f8103c7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23f919bd3dde10dbbc076f7ec5149699.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b00c12002fe4b07e3f91c7ae5c9192dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc2d3df37e73a8abea815f37dbb3fff5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dc11468f07d42dda1d7d51107aab02fe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/18b4ed74387268c43450135937805101.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7050b91eacc62f73d872eeb628f3565c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2926c82d9ad9f5ba647c83fa3024f323.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c4f6f74444b2b7947fc6e35c8d62322.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c4f6f74444b2b7947fc6e35c8d62322.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0af3a30b2f1dbc2fa12eb6759eee69d0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/041a7c8fc017f596542c5e6ec7d1c40b.png)
(1)分别求出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fac3649308b528fd56545ba102dc42d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c88d9142df6ba8e43c1a93bd04a1362.png)
(2)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca71b6d6fd74f098d1e78161820dd3b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d916a406adac9fa4dcfbad152547ac9.png)
(3)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/30589b25ca71883ec4a5d1824c243bad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81731a804207d04115c15a16f3a27011.png)
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解题方法
7 . 某药品可用于治疗某种疾病,经检测知每注射tml药品,从注射时间起血药浓度y(单位:ug/ml)与药品在体内时间
(单位:小时)的关系如下:
当血药浓度不低于
时才能起到有效治疗的作用,每次注射药品不超过
.
(1)若注射
药品,求药品的有效治疗时间;
(2)若多次注射,则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和.已知病人第一次注射1ml药品,12小时之后又注射aml药品,要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗,求
的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/964609698358e6e31673615f150802ed.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e57fa6097197c6943c40394eaceae732.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b35d774836119531a3eec0ee121a8585.png)
(1)若注射
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/710dd2e08d422d57c65fd63f80509d84.png)
(2)若多次注射,则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和.已知病人第一次注射1ml药品,12小时之后又注射aml药品,要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗,求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
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名校
8 . 深圳别称“鹏城”,“深圳之光”摩天轮是中国之眼
游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色
如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要
,其中心
距离地面
,半径
如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,经过时间
单位:
之后,请解答下列问题.
单位:
与时间
之间的函数解析式;
(2)当你登上摩天轮
后,你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮,求两人距离地面的高度差
单位:
关于
的函数解析式,并求高度差的最大值.
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(2)当你登上摩天轮
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2024-02-20更新
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599次组卷
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2卷引用:江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
名校
解题方法
9 . 随着全球对环保和可持续发展的日益重视,电动汽车逐步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试,得到了该电动汽车每小时耗电量
单位:
与速度
单位:
的数据如下表所示:
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量
与速度
的关系,现有以下两种函数模型供选择:①
,②
.
(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需要说明理由),并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号电动汽车从
地出发经高速公路(最低限速
,最高限速
)匀速行驶到距离为
的B地,出发前汽车电池存量为
,汽车到达
地后至少要保留
的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为
的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).已知该高速公路上有一功率为
的充电桩(充电量
充电功率
充电时间).若不充电,该电动汽车能否到达
地?并说明理由;若需要充电,求该电动汽车从
地到达
地所用时间(即行驶时间与充电时间之和)的最小值.
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![]() | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
![]() | 8.8 | 11 | 13.6 | 16.6 | 20 |
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(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型(不需要说明理由),并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号电动汽车从
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2024-02-06更新
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174次组卷
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3卷引用:湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
10 . 在一定通风条件下,某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t(单位:
)的变化规律可以用函数模型
近似表达.在该通风条件下测得当
时此会议室内的二氧化碳浓度,如下表所示,用该模型推算当
时c的值约为( )
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t | 0 | 5 | 10 |
c | ![]() | ![]() | ![]() |
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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