1 . 已知双曲线的上、下顶点分别为．
(1)若直线与交于两点，记直线与的斜率分别为，求的值；
(2)过上一点作抛物线的切线和，切点分别为，证明：直线与圆相切．

2 . 记集合，集合，若，则称直线为函数在上的“最佳上界线”；若，则称直线为函数在上的“最佳下界线”．
(1)已知函数，．若，求的值；
(2)已知．
（ⅰ）证明：直线是曲线的一条切线的充要条件是直线是函数在上的“最佳下界线”；
（ⅱ）若，直接写出集合中元素的个数（无需证明）．

3 . ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.

4 . 已知，函数.
(1)讨论在上的单调性；
(2)已知点.
（i）若过点Р可以作两条直线与曲线相切，求的取值范围；
（ii）设函数，若曲线上恰有三个点使得直线与该曲线相切于点，写出的取值范围（无需证明）.

5 . 设函数，函数，其中，（是自然对数的底数）.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)记函数的最小值为. 求证：.

6 . 关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
(1)证明：有唯一零点，且；
(2)现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；
……
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
（i）设，求的解析式(用表示)；
（ii）证明：当，总有.