1 . 肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病.因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒､体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
(2)若，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用k+4元.求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.
参考数据及公式：.

2 . 三个互不相同的函数与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”.
(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
(2)求所有的二次函数（用表示，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
(3)若，且存在实数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值.

3 . 如图，用一垂直于某条母线的平面截一顶角正弦值为的圆锥，截口曲线是椭圆，顶点A到平面的距离为3.

(1)求椭圆的离心率；
(2)已知P在椭圆上运动且不与长轴两端点重合，椭圆的两焦点为，，证明：二面角的大小小于.

4 . 近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．
(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；
(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．