解题方法
1 . 如图,阴影部分为古建筑群所在地,其形状是一个长为2,宽为1的矩形,矩形两边
、
紧靠两条互相垂直的路上,现要过点
修一条直线的路
,这条路不能穿过古建筑群,且与另两条路交于点
和
.则
的面积
的最小值为________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/03902478df1a55bc99703210bccab910.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acc290b44635265137fdf13146b6a6d9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9763846b1131e1e3e2d741ad95d5bb0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/7/5/d85a6fec-aba5-4341-8720-444e1df96584.png?resizew=160)
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解题方法
2 . 已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成,两个圆锥的顶点分别为
,
,底面半径为
.若
,则该几何体的体积最大时,以
为半径的球的体积为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f60e9df73abb32c80e8b698c41ed5744.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
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2023-07-04更新
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308次组卷
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6卷引用:1.3.4 导数的应用举例
1.3.4 导数的应用举例四川省绵阳市高中2024届高三突击班第零次诊断性考试理科数学试题(已下线)11.2 锥体(第2课时)(三大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)考点3 基本立体图形体积 2024届高考数学考点总动员【练】(已下线)第5.3.2讲 利用导数求解函数的综合问题(第3课时)-2023-2024学年高二数学同步精讲精练宝典(人教A版2019选修第二、三册)(已下线)2.7导数的应用(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(北师大版2019选择性必修第二册)
名校
解题方法
3 . 如果有一张长80cm、宽50cm的环保板材,先在它的四个角上截去边长为x的四个小正方形,做一只无盖长方体容器(允许剪切与焊接,焊接处理厚度与损耗不计).
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/4/99fdb3d3-10fd-4d10-8cbf-9c0320703d02.png?resizew=172)
(1)写出容积y关于x的函数
,并写出该函数的定义域;
(2)当x为何值时,函数
有最大值,并求出此最大值.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/4/99fdb3d3-10fd-4d10-8cbf-9c0320703d02.png?resizew=172)
(1)写出容积y关于x的函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
(2)当x为何值时,函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/942c2141d01bde6b48210c56a17fc75e.png)
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2022-12-02更新
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414次组卷
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4卷引用:上海市新中高级中学2023届高三上学期期中数学试题
上海市新中高级中学2023届高三上学期期中数学试题(已下线)山东省青岛第二中学2022-2023学年高三上学期1月期末测试数学试题变式题17-22(已下线)第5章 一元函数的导数及其应用 单元综合检测(重点)(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第二册)福建省厦门市国贸协和双语高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷
解题方法
4 . 已知体积为
的正三棱柱
的所有顶点都在球
的球面上,当球
的表面积
取得最小值时,该正三棱柱的底面边长
与高
的比值为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf231f8f86fb922df4ca0c87f044cec3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0a6936d370d6a238a608ca56f87198de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
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2022-11-25更新
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521次组卷
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3卷引用:湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期11月一轮复习诊断考试(二)数学(理科)试题
湘豫名校联考2022-2023学年高三上学期11月一轮复习诊断考试(二)数学(理科)试题(已下线)专题06 一网打尽外接球与内切球问题(精讲精练)-3安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题
解题方法
5 . 已知球О的半径为3,圆锥
的顶点与底面都在该球面上,则圆锥
的体积最大值为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/41a8c34f622f1b979feed5ae6ae5d0e8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/41a8c34f622f1b979feed5ae6ae5d0e8.png)
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6 . 用总长为22的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制容器底面一边的长比另一边的长多2,则该容器的最大容积为____________ ,此时的高为____________ .
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名校
7 . 已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为
的同一个球的球面上,则该圆柱体积的最大值为__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/38387ba1cadfd3dfc4dea4ca9f613cea.png)
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2023-03-12更新
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233次组卷
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2卷引用:四川省乐山市沫若中学2021-2022学年高二下学期第二次月考数学(理)试题
解题方法
8 . 现有一个帐篷,它下部分的形状是高为1m的正六棱柱,上部分的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时,求帐篷的顶点O到底面中心
的距离.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23f919bd3dde10dbbc076f7ec5149699.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/9/7/efb5ef48-3b7e-47e2-a6db-2b9dae9f8611.png?resizew=188)
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21-22高二·全国·课后作业
9 . 观察实际情景,提出并分析问题
(1)实际情景
双十—就要到了,那时候大家都很忙,卖家搞促销,想赚更多的钱,买家想货比三家,买到物美价廉的商品,在这个交易过程中,快递不可或缺,你们有没有发现,商品都会被形形色色的盒子所包装,对于快递公司而言,包装同一个商品,用的材料越少越好,而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好,这样制作非常环保.
(2)提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪,做成一个无盖的方底纸盒,当盒底边长与高分别为多少时,盒子容积最大?最大容积是多少?
(3)分析问题
容积的计算依据裁剪的方法,由学生根据自己所学知识确定裁剪方法,确定剪裁方法后,我们可以通过长度关系,用未知数表示盒子容积,根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法.
2.收集数据
现有一个面积为
平方厘米的正方形纸板
.
3.剪裁过程
裁剪方案1:去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得正方形的四个点重合于图中的点
,正好形成一个长方体形状的包装盒.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/c895d997-d1c9-4bd8-8d3b-1584e1fac764.png?resizew=326)
裁剪方案2:如图所示,先在正方形的相邻两个角各切去边长为
的正方形,然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为
、
的矩形,再将剩余部分沿图中的虚线折起.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/5f16f87e-012c-4fe9-a3c1-ba6184f18efb.png?resizew=368)
4.问题解决
裁剪方案1:设包装盒的高为
,底面边长为
,
则
,
,
,
所以
,
;
可得
,
当
时,
;当
时,
,
所以函数
在
上递增,在
上递减,
当
时,
取得极大值也是最大值:
.
所以当
时,包装盒的容积最大是
.
裁剪方案2:因为包装盒高
,底面矩形的长为
,宽为
,
所以包装盒的容积为
,
函数的定义域为
.
,
令
,解得
,
∴当
时,
,函数
单调递增;
当
时,
,函数
单调递减,
∴当
时,函数
取得极大值,也是函数
的最大值,
所以![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2879926a0ba77b655bf2132d7f45cce6.png)
.
比较两种模型,故选择裁剪方案1.
5.检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法,可能会有其他的裁剪方法,求得的容积可能会更大.
6.延伸拓展
请同学们集思广益,研究一下是否有其他裁剪方法,并计算出相应的容积的最大值.
(1)实际情景
双十—就要到了,那时候大家都很忙,卖家搞促销,想赚更多的钱,买家想货比三家,买到物美价廉的商品,在这个交易过程中,快递不可或缺,你们有没有发现,商品都会被形形色色的盒子所包装,对于快递公司而言,包装同一个商品,用的材料越少越好,而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好,这样制作非常环保.
(2)提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪,做成一个无盖的方底纸盒,当盒底边长与高分别为多少时,盒子容积最大?最大容积是多少?
(3)分析问题
容积的计算依据裁剪的方法,由学生根据自己所学知识确定裁剪方法,确定剪裁方法后,我们可以通过长度关系,用未知数表示盒子容积,根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法.
2.收集数据
现有一个面积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ac38bb42a83e0fe2765b3548ca303ca.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
3.剪裁过程
裁剪方案1:去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得正方形的四个点重合于图中的点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/c895d997-d1c9-4bd8-8d3b-1584e1fac764.png?resizew=326)
裁剪方案2:如图所示,先在正方形的相邻两个角各切去边长为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/84d0abc998ec2b780be50b061c3de05c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dde7ecce8a793b8a5f25fc1651207b83.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/84d0abc998ec2b780be50b061c3de05c.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/9/5f16f87e-012c-4fe9-a3c1-ba6184f18efb.png?resizew=368)
4.问题解决
裁剪方案1:设包装盒的高为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8f4f9e6422ad83660ff1bab3d35984d1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23c15e0aedfc6f6d2683107ddf363461.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d40bd88a793dcda6e7b97eebd7d6b0b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5d09b57d135bbb34c183d946a48c93bb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef64bb445ca1e2e0c7ee8582eb9412fa.png)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c92f74ca7bfc5a0b79a32a9d00686c01.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62524d743ab1c511c986636abe22d7ef.png)
可得
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/731786e0b0467bfbc2d8ece9f535bbe2.png)
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/748bf84fb77f3d6c858a62f4c7094fcc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/549ca05759c66a64ceefa61bd947c93d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d15a0d132d0bc67c99075269e75c63ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95378fdba05d450342db0d84a1b01ed.png)
所以函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ce65c6fc7cab2fd70ed05079c4a10b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fa596144c146c70cd052b78ec8a42759.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2de0d10ef8b748d4531250c37c5d3f9e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5529b6cc214b0192da6e0053f2301399.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/68d6415b3363727ae9f0aad1d0bf0ca4.png)
所以当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b728cdc53b94a1a89557aee9b47b3507.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/001c6f2144e9ced7f710733e35e6063f.png)
裁剪方案2:因为包装盒高
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83962b75b7a567cb9014ee38a3a8d1f1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d88738f7d674d1ffec111a7ebb6d1ef3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b33d9ac1186ceec491de9ee510f6aaf7.png)
所以包装盒的容积为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f395b774d1f4aac69f96d5176653ba9.png)
函数的定义域为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f7d021cb696d67120b0305adcf0f4be.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1b7ee52cca87b202e4aeab5083e65c81.png)
令
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b58994af8eb805c6ef77e061abfc341b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/31c1f0ec76ff53c1e6f2d5c10bb77a65.png)
∴当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/328048bf1e477b5b5ba004b0181f126e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/549ca05759c66a64ceefa61bd947c93d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/80e6386ca463afca0549bf2a268df3e7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95378fdba05d450342db0d84a1b01ed.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
∴当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/31c1f0ec76ff53c1e6f2d5c10bb77a65.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e766305fcae007508b086d27cf73bd5d.png)
所以
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2879926a0ba77b655bf2132d7f45cce6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eebfe47866d572265c4ea639304abbc6.png)
比较两种模型,故选择裁剪方案1.
5.检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法,可能会有其他的裁剪方法,求得的容积可能会更大.
6.延伸拓展
请同学们集思广益,研究一下是否有其他裁剪方法,并计算出相应的容积的最大值.
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名校
解题方法
10 . 在一次劳动实践课上,甲组同学准备将一根直径为
的圆木锯成截面为矩形的梁.如图,已知矩形的宽为
,高为
,且梁的抗弯强度
,则当梁的抗弯强度
最大时,矩形的宽
的值为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/6/3016781450371072/3019711103115264/STEM/93725985d3e348d4a6783daf50836cff.png?resizew=120)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c02bc0c74292b1e8f395f90935d3174.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eabd5f3a86afe49dcd70571e2b96cfd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2285f5e931ff0b3b526fa3d5af100a91.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/91edc7e2d4811f5ea6c01284cf00393a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/7/6/3016781450371072/3019711103115264/STEM/93725985d3e348d4a6783daf50836cff.png?resizew=120)
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2022-07-10更新
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359次组卷
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4卷引用:山东省东营市2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题
山东省东营市2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题内蒙古赤峰二中2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题四川省绵阳南山中学2022-2023学年高二下学期3月月考文科数学试题(已下线)第5.3.2讲 利用导数求解函数的综合问题(第3课时)-2023-2024学年高二数学同步精讲精练宝典(人教A版2019选修第二、三册)