1 . 已知向量满足，，，，则的最小值是__________．

2 . 在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为__________.

3 . 如图，在中，点D在线段上，且，E是的中点，延长交于点H，点为直线上一动点（不含点A），且（）．若，且，则的面积的最大值为________．

   

4 . 如图，在平面中，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是_________.

5 . 在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______．

6 . 已知圆O的半径为2，A为圆内一点，OA＝1，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是______.

7 . 已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为________.

8 . 根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”，故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组，任意一组勾股数都可以表示为如下的形式：其中，，均为正整数，且.如图所示，中，，，三边对应的勾股数中，，点在线段上，且，则______.

   

9 . 如图，在中，点在线段上，且，，则的面积的最大值为______.

10 . 若是两个非零向量，且则与的夹角的取值范围是____.