1 . 已知中，，为角分线．

（Ⅰ）求的长度；
（Ⅱ）过点作直线交 于不同两点，且满足 ，求证：．

2 . 设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）．

（1）求的值；
（2）为线段上一点，若，求实数的值；
（3）为边上一动点，当取最小值时，求的值．

3 . 如图，在中，设，，又，，向量，的夹角为．

（Ⅰ）用表示；
（Ⅱ）若点是边的中点，直线交于点，求．

4 . 在中，，，是内切圆圆心，设是圆外的区域内的动点，若，求点所在区域的面积．

5 . （1）证明直线和平面垂直的判定定理，即已知：如图1，且， 求证：
（2）请用直线和平面垂直的判定定理证明：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面，即
已知：如图2， 求证：

6 . 如图，在三角形中，，分别为，的中点，为上的点，且，若,求实数.