1 . 已知数列的前n项和为，（且，）
（1）求证：数列是等比数列
（2）若，求实数的取值范围

2 . 已知集合，数列的首项，且当时，点，数列满足.
（1）证明数列是等差数列；
（2）求数列.的通项公式；
（3）若（，），求的值.

3 . 无穷正实数数列具有以下性质
（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个正整数n使下面不等式恒成立
（2）寻一个满足上述条件的数列，使下面不等式对任一正整数n均成立

4 . 已知：函数，数列对，总有；
（1）求的通项公式；
（2）设是数列的前项和，且，求的取值范围；
（3）若数列满足：①为的子数列（即中每一项都是的项，且按在中的顺序排列）；②为无穷等比数列，它的各项和为，这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列.写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

5 . 已数列的各项均为正整数，且满足，又.
（1）求的值，猜想的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设，求的值；
（3）设，是否存在最大的整数，使得对任意，均有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

6 . 对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”.①；②存在实数使得.
（1）数列中，，判断是否具有“性质”.
（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，证明：数列具有“性质”，并指出的取值范围.
（3）若数列的通项公式，对于任意的，数列具有“性质”，且对满足条件的的最小值，求整数的值.

7 . 设数列是等差数列，且公差为d，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列是否是“封闭数列”，为什么?
（3）设是数列的前n项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由.

8 . 某公司全年的纯利润为元,其中一部分作为奖金发给位职工,奖金分配方案如下首先将职工工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到排序,第1位职工得奖金元,然后再将余额除以发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设为第位职工所得奖金额,试求并用和表示(不必证明)；
(2)证明并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与和有关,记为对常数,当变化时,求.(可用公式)

9 . 如图，，，…，是曲线：上的点，，，…，是轴正半轴上的点，且，，…，均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）.

（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列的通项公式；
（3）设，集合，，若，求实常数的取值范围.

10 . 已知函数，若存在常数T（T>0），对任意都有，则称函数为T倍周期函数
（1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由
（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的
（3）若是2倍周期函数，，， 表示的前n项和，，求