1 . 已知点列
，其中
，
，
是线段
的中点，
是线段
的中点，……
是线段
的中点，……．记
，则．
______ ；
______ ．
，其中，，是线段的中点，是线段的中点，……是线段的中点，……．记，则．
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2 . 已知向量
，其中
是两两不相等的正整数．记
，
，其分量之间满足递推关系
，
，
，
，
．
(1)当
时，直接写出向量
；
(2)证明：不存在
，使得中
；
(3)证明：存在
，当
时，向量满足
．
，其中是两两不相等的正整数．记，，其分量之间满足递推关系，，，，．(1)当
时，直接写出向量；(2)证明：不存在
，使得中；(3)证明：存在
，当时，向量满足．
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3 . 已知正项数列
满足
，
，则在下列四个结论中，①
；②是递增数列；③
；④
.其中所有正确结论的序号是______ .
满足，，则在下列四个结论中，①；②是递增数列；③；④.其中所有正确结论的序号是
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4 . 斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：
，
.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列
，则
______ .
可以用如下方法定义：，.若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则
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5 . 已知数列
满足，
，
，且
．记集合
．
(1)若
，求集合
中元素的个数；
(2)①求证：
，
．
②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；
(3)求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
满足，，，且．记集合．(1)若
，求集合中元素的个数；(2)①求证：
，．②若集合
中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；(3)求集合
中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
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解题方法
6 . 已知数列是无穷数列，
.
(1)若，
，写出
，
的值；
(2)已知数列中
，求证：数列中有无穷项为
；
(3)已知数列中任何一项都不等于，且
，记
，其中
为
，
中较大的数. 求证：数列是递减数列.
是无穷数列，.(1)若
，，写出，的值；(2)已知数列
中，求证：数列中有无穷项为；(3)已知数列
中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.
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7 . 函数
的定义如下表：
已知
，且数列满足对任意的
，均有
.若
，则正整数的值为______ .
的定义如下表： | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 5 | 1 | 2 | 3 | 4 |
，且数列满足对任意的，均有.若，则正整数的值为
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8 . 已知数列的首项
，其中
，
，令集合
．
(1)若
，写出集合A中的所有的元素；
(2)若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
(3)求证：
．
的首项，其中，，令集合．(1)若
，写出集合A中的所有的元素；(2)若
，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；(3)求证：
．
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9 . 给定正整数
，若项数为的正实数数列满足：
，且
，称数列为“数列”．如果“数列”存在
分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个项数列为“
数列”．
(1)判断数列：2，2，2，2，2和数列：1，2，3，4，5是否为“数列”；
(2)正数数列满足：
．证明：数列是“数列”，但不是“数列”；
(3)若任意的项“数列”均为“数列”，求出所有满足条件的整数．
，若项数为的正实数数列满足：，且，称数列为“数列”．如果“数列”存在分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个项数列为“数列”．(1)判断数列
：2，2，2，2，2和数列：1，2，3，4，5是否为“数列”；(2)正数数列
满足：．证明：数列是“数列”，但不是“数列”；(3)若任意的
项“数列”均为“数列”，求出所有满足条件的整数．
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10 . 设数列满足
，且
，则
（ ）
满足，且，则（ ）A． | B． | C． | D．3 |
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