1 . 已知数列
满足：
，
；数列
是各项都为正数的等比数列且满足
，
．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
．
满足：，；数列是各项都为正数的等比数列且满足，．(1)求数列
，的通项公式；(2)记
，求数列的前项和．
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2 . 已知等差数列的前项和为
，
，
，等比数列满足
，
是
，
的等比中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足
，求数列前
项的和
.
的前项和为，，，等比数列满足，是，的等比中项.(1)求数列
的通项公式；(2)设数列
满足，求数列前项的和.
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3 . 已知正项数列满足
.
(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列的通项公式；
条件①：当
时，
；
条件②：数列
与
均为等差数列；
(2)在（1）的基础上，设为数列
的前n项和，证明：
.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
满足.(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求数列
的通项公式；条件①：当
时，；条件②：数列
与均为等差数列；(2)在（1）的基础上，设
为数列的前n项和，证明：.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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4 . 已知等差数列满足：，且
，，
成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：
，求数列的前项和．
满足：，且，，成等比数列．(1)求数列
的通项公式；(2)若等差数列
的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．
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解题方法
5 . 马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为:假设序列状态是...，
，那么
时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态
，即
.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率___________ .
，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即.著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为50%，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币.赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币;二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博.记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率
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6 . 数列满足，
.
(1)求数列通项公式；
(2)设
，求数列的前项和.
满足，.(1)求数列
通项公式；(2)设
，求数列的前项和.
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2024·全国·模拟预测
7 . 已知
，数列中，，
，为数列的前项和，
，则
（ ）
，数列中，，，为数列的前项和，，则（ ）| A．3 | B．4 | C．5 | D．6 |
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2024·全国·模拟预测
解题方法
8 . 已知是数列的前项和，，
，不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
是数列的前项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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解题方法
9 . 已知数列满足，
，数列满足
，
．
(1)求证：
为等差数列，并求通项公式；
(2)若
，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式
恒成立，求实数的范围．
满足，，数列满足，．(1)求证：
为等差数列，并求通项公式；(2)若
，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．
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2024高三·全国·专题练习
解题方法
10 . 已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，
，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列
数列的前
项和为
，求．
是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．(1)求数列
的通项公式；(2)若数列
数列的前项和为，求．
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