1 . 数列满足则称数列为下凸数列.
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；
(3)若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.

2 . 混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.
(1)当时，若满足对，有，求的通项公式；
(2)证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列；
(3)若，，记，证明：.

3 . 已知三条直线（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为．
(1)若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程；
(2)若，且，证明：直线过定点；
(3)当时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 已知函数满足，当时，．
（1）当时，求函数的图像与x轴所围成的图形面积；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）当时，函数与的图像有交点，将从左向右的交点的横坐标依次记为、、、…，数列是否可能为等比数列，若可能，请求出对应的m值，若不可能请说明理由．