1 . 若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明：
(1)数列为等比数列；
(2)数列具有性质.

2 . 已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.
(1)设，证明：是等比数列.
(2)求数列的通项公式.

3 . ，，递增数列前项和为．
(1)证明：为等比数列并求；
(2)记，为使成立的最小正整数，求．

4 . 甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为，求的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若表示“在甲所得筹码为枚时，最终甲获胜的概率”，则.证明：为等比数列.

5 . 在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：

类别	特征
S类（Susceptible）	易感染者，体内缺乏有关抗体，与I类人群接触后易变为I类人群．
I类（Infectious）	感染者，可以接触S类人群，并把传染病传染给S类人群；康复后成为R类人群．
R类（Recovered）	康复者，自愈或者经治疗后康复且体内存在相关抗体的I类人群；若抗体存在时间有限，可能重新转化为S类人群．

在一个600人的封闭环境中，设第n天S类，I类，R类人群人数分别为，，．其中第1天，，．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：

S类→I类占当天S类比例	I类→R类占当天I类比例	R类→S类占当天R类比例

(1)已知对于传染病A有，，．求，；
(2)已知对于传染病B有，，．
（Ⅰ）证明：存在常数p，q，使得是等比数列；
（Ⅱ）已知防止传染病大规模传播的关键途径至少包含：①控制感染人数；②保护易感人群．请选择一项，通过相关计算说明：实际生活中，相较于传染病A需要投入更大力量防控传染病B．

6 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．