1 . 已知无穷数列满足（）．其中均为非负实数且不同时为0.
（1）若，且，求的值；
（2）若，，求数列的前项和；
（3）若，，且是单调递减数列，求实数的取值范围.

2 . 已知等比数列的前n项和为，满足，数列满足，且是公差为1的等差数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求．

3 . 若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．例如，数列与数列都是“对称数列”．
(1)已知数列是项数为9的对称数列，且,,,,成等差数列，，,试求，，，，并求前9项和.
(2)若是项数为的对称数列，且构成首项为31，公差为的等差数列，数列前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
(3)设是项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列．求前项的和．

4 . 设集合，对的任意非空子集，定义为中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则______；_______．

5 . 已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为（其中，均为正整数）．
（1）若，，求数列，的通项公式；
（2）对于（1）中的数列和，对任意在与之间插入个，得到一个新的数列，试求满足等式的所有正整数的值；

6 . 已知数列的各项均为正数，其前项的和为，且对任意的，
都有．

（1）求的值；

（2）求证：为等比数列；

（3）已知数列满足是给定的正整数，数列的前项的和分别为，且，求证：对任意正整数．

7 . 正项等比数列的前项和为，已知，且为等差数列的前三项.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前10项和.

8 . 已知等差数列{a_n}、等比数列{b_n}满足a₁+a₂=a₃，b₁b₂=b₃，且a₃，a₂+b₁，a₁+b₂成等差数列，a₁，a₂，b₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）按如下方法从数列{a_n}和数列{b_n}中取项：
第1次从数列{a_n}中取a₁，
第2次从数列{b_n}中取b₁，b₂，
第3次从数列{a_n}中取a₂，a₃，a₄，
第4次从数列{b_n}中取b₃，b₄，b₅，b₆，
…
第2n﹣1次从数列{a_n}中继续依次取2n﹣1个项，
第2n次从数列{b_n}中继续依次取2n个项，
…
由此构造数列{c_n}：a₁，b₁，b₂，a₂，a₃，a₄，b₃，b₄，b₅，b₆，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，b₇，b₈，b₉，b₁₀，b₁₁，b₁₂，…，记数列{c_n}的前n项和为S_n，求满足S_n＜2²⁰¹⁴的最大正整数n．

9 . 已知数列中任意连续三项的和为零，且
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和的取值范围.

10 . 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，且a_n+1＝a_n²+2a_n，其中为正整数．
（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即T_n＝(a₁＋1)(a₂＋1)…(a_n＋1)，求；
（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值．