1 . 已知数列的前项和为，且，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为________.

2 . 已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和______．

3 . 定义：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则________，_______

4 . 设为等差数列的前项和，，则数列的前10项和为__________.

5 . 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前10项和_________________．

6 . 在数列中，已知，，则数列的前2024项和__________．

7 . 公比为的等比数列的前项和，若，记数列的前项和为，若恒成立.则的最小值为__________.

8 . 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为______.

10 . 对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则__________．